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關鍵詞：框剪結構；抗震鑒定；加固
中圖分類號： TU398文獻標識碼：A
框架剪力墻結構的概述
所謂的框架剪力墻結構也稱框剪結構，這種結構是在框架結構中布置一定數量的剪力墻，構成靈活自由的使用空間，滿足不同建筑功能的要求，同樣又有足夠的剪力墻，有相當大的側向剛度。對于框剪結構的受力特點，是由框架和剪力墻結構兩種不同的抗側力結構組成的新的受力形式，所以它的框架不同于純框架結構中的框架，剪力墻在框剪結構中也不同于剪力墻結構中的剪力墻。而剪力墻結構是用鋼筋混凝土墻板來代替框架結構中的梁柱，能承擔各類荷載引起的內力，并能有效控制結構的水平力。鋼筋混凝土墻板能承受豎向和水平力，它的剛度很大，空間整體性好，房間內不外露梁、柱棱角，便于室內布置，方便使用。剪力墻結構形式是高層住宅采用最為廣泛的一種結構形式。
某工程概況
某辦公樓建筑面積為2800m2，地下一層，地上二十七層，裙房2層，屋面標高87.900m各層樓板均采用鋼筋混凝土現澆板，抗震設防烈度為7度，剪力墻抗震等級二級，框架抗震等級二級，場地類別Ⅱ類。底層為框架結構，柱截面尺寸為800mm ×800mm，框架梁截面為350mm x1000mm，地下一層抗震墻厚320mm，一~二層抗震墻厚300mm，三~四層抗震墻厚度為250mm,五層以上抗震墻厚度為200mm.屋面為上人屋面，柔性防水做法，有組織排水。基礎形式為平板式筏形基礎。因種種原因，現需要對結構進行抗震鑒定與加固設計。
結構抗震鑒定
3.1、抗震鑒定主要流程，見圖1：
3.2、抗震鑒定方法。根據框架剪力墻結構的特點、結構布置、構造和抗震承載能力等因素，采用相應的逐級鑒定方法。抗震鑒定的方法分為兩級，是篩選法的具體應用。第一是以宏觀控制和構造鑒定為主進行綜合評價。第一級鑒定的內容較少，容易掌握又確保安全；第二是在第一級鑒定的基礎上進行的，以抗震驗算為主，結合構造影響進行綜合評價。當結構的承載力較高時，可適當放寬某些構造要求;或者，當抗震構造良好時，承載力的要求可酌情降低。當標準未給出具體鑒定標準時，可采用抗震設計規范規定的方法，按下式進行結構構件抗震驗算:
≦（式 1）
式1中，S—結構構件內力組合的設計值；R—結構構件承載力設計值；—抗震鑒定的承載力調整系數。這種鑒定方法，將抗震構造要求和抗震承載力驗算要求更緊密得聯合在一起，具體體現了結構抗震能力是承載能力和變形能力兩個因素的有機結合。
3.3、抗震鑒定在本工程中的應用
首先對砌筑用磚和混凝土強度采用回彈法、對砂漿采用回彈法和貫人法進行檢測。檢測結果表明:結構 1~3 層混凝土強度為 47MPa，結構四層至頂層混凝土強度實測為 43MPa，均略高于平均值29.5MPa，綜合評定其抗壓強度符合規范要求；其次采用采用經緯儀棱線投射法對房屋外墻棱線傾斜進行測量，測定建筑物外墻頂點相對底部的偏移值，結果顯示，該房屋最大傾斜率為 1.1‰，在規范限值范圍內；第三是抗震承載力分析。第四是抗震驗算。在鑒定驗算的過程中，結構按丙類建筑考慮，屬于A 級高度的框架剪力墻結構。結構的抗震設防列度為七度，Ⅱ類場地，設計地震分組為第一組，多遇地震時場地設計特征周期取為 0.35s，設計基本加速度取為 0.10g。該房屋的框架抗震等級為二級，剪力墻抗震等級為二級。對該結構按現行規范進行抗震驗算，計算軟件采用 10 版 SATWE 軟件和 ETABS，將兩款計算軟件的計算結果進行相互校核，以保證計算結果的準確性，建立結構的整體模型。結構整體計算采用振型分解反應譜分析法，計算振型個數取 21，考慮扭轉耦聯，振型組合采用 CQC 振型組合方法。如果按7度抗震設防進行了多遇地震作用下的彈性分析。結構的動力特性見表1：
通過計算，SATWE 與 ETABS 計算得到的結構位移信息相差較小，說明計算結果比較可信。SATWE 的計算結果如下：結構 X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/1024 和 1/838，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.22 和 1.27，滿足規范相關限值的要求。
4、抗震加固方案
4.1、房屋的抗震承載力加固措施。為增強房屋底層的抗震承載力，提高房屋的整體剛度，采用鋼筋網水泥砂漿對底層磚墻雙面加固。材料選用水泥砂漿，砂漿強度等級為M10，厚度為40mm。
4.2、局部構件承載力加固措施。首先采用單榀框架計算，縱向連接依據構造措施設計。計算發現，底層軸、橫向連系梁截面、配筋均不足，采用擴大截面加固法；其次是框架梁梁底配筋不足的問題，可采用碳纖維加固法，有效提高框架梁強度且不影響使用空間；第三是針對2,3層部分墻體被拆除，可采用雙拼槽鋼加固，為防止局部墻肢破壞、使結構受力傳播合理，對剩余磚墻及槽鋼梁進行擴大截面加固，磚墻采用截面擴大加固，應延伸至1層。
4.3、構造柱設計加固措施。 如果是房屋由于抗震性能和整體性不足，可以采用增加構造柱的加固方法。構造柱按照規范要求整體布置，根據布置位置的不同，采用不同的做法。同時，新增構造柱應同原有墻體及圈梁可靠連接。
4.4、新增隔墻的加固措施。新增隔墻有利于結構傳力，采用承重墻的做法。在一般情況下，可以采用兩根8沿墻體全長拉通，間隔500mm設置，與框架柱可靠連接。
4.5、抗震加固在本工程中的方案應用
由上文的抗震鑒定驗算可知，對于計算結果中配筋不足的梁、柱，本工程采用粘貼碳纖維的方案對本工程進行加固。對于七層的超筋柱采用增大截面法進行加固，新增混凝土的厚度不小于 60mm，考慮到施工的可行性，將原截面直徑為 800mm 的混凝土柱加大截面至 1000mm，新增混凝土采用細石混凝土，強度不低于 C40，新老混凝土交界面需鑿毛處理，并在增大的混凝土中配一定量的受力鋼筋與箍筋，并與原結構構件間用植筋的方法增加拉結筋進行連接。該房屋三層高為 6.4m，在三層 3.2m 高度處增設隔墻。隔墻采用鋼梁，帶肋花紋鋼板作樓面。夾層樓面梁布置與原結構三層樓面梁布置類似。鋼梁為焊接工字形截面梁，鋼梁通過焊接型環形箍板固定于原混凝土柱。環形箍板由化學錨栓固定于原混凝土柱。花紋鋼板及加勁肋厚度均取為 8mm。采用以上措施加固后，按砌體結構再次進行抗震驗算。
本次采用 SATWE 軟件對增加隔墻后的整體結構重新分析，其中隔墻部分主梁與柱之間連接為剛接，主梁與剪力墻之間連接為鉸接，次梁與主梁之間連接為鉸接；由于花紋鋼板樓面的剛度較弱，分析時將此層樓板設為彈性膜；結構七層計算超筋柱按增大截面后的截面輸入。計算結果見表 2 所示：
結構 X、Y 方向最大層間位移角分別為 1/998 和 1/815，X、Y 方向最大層間位移與層間平均層間位移的比值分別為 1.24 和 1.30，滿足規范要求；原七層超筋柱經加固后的計算配筋率為 3.6%，能滿足抗震規范中規定的柱縱筋配筋率的要求，證明采用增大截面法對于加固結構超筋構件的有效性。
結束語
總之，加固設計應根據結構的布置情況，合理的布置剪力墻、鋼支撐的位置、數量，保證加固后結構體形、平、立面剛度的均勻性，避免出現加固后出現新的薄弱環節，同時在進行加固設施工時，應采用有效的施工措施，保證新增構件與原構件應有可靠錨固與連接，同時避免對原結構構件造成損傷。使新舊構件協同工作，達到預期的加固效果。并且由于地震作用的復雜性，如何選用更加合理的方法對鋼筋混凝土框架結構進行地震反應分析，以達到較為精確的計算結構彈塑性變形，依然需要做進一步研究。
參考文獻：
[1]任鳳鳴.鋼管混凝土框架—核心筒減震結構的抗震性能研究[D].廣州大學,2012.
勾股定理在幾何學中有著重要的地位，因此證明勾股定理在我們學習幾何數學中非常重要。千百年來有許多數學家對勾股定理進行證明，證明方法多種多樣。對勾股定理的證明在1940年出版的《畢達哥拉斯命題》中就收集到了367種之多，但是這還不是全部的證明方法，根據不完全統計到目前為止證明勾股定理的方法已經達到了500多種。當然各種證明方法都有自己獨特的優點，有的豐富有的簡潔。在西方國家勾股定理還被人們稱為畢達哥拉斯定理，這是因為畢達哥拉斯是最先發現直角三角形的勾股定理并且給出了嚴格的證明。
關鍵詞：勾股定理
勾股定理在我國也稱“商高定理”，因為在中國商高是最早發現和利用勾股定理的人，商高曾經說過：“故折矩，勾廣三，股修四，經隅五”。這就是人們后面說的“勾三股四弦五”。勾股定理的應用十分廣泛，到目前為止對勾股定理的證明方法非常多，美國總統伽菲爾德證明勾股定理在歷史上也是很有名的。勾股定理的證明體現了數型結合得思想，這體現了在學習數學得過程中我們必須要重視思維方式的培養，以及對各種思維方式的應用，達到舉一反三的效果。在學習勾股定理的過程中我們要領會數學思維的規律和方法，提高數學思維的靈活性。利用勾股定理解題的時候，常常要把有關的已知量和未知量通過圖形結合起來解決問題，也就是說我們必須要數型結合才能更好的解決勾股定理的問題。在研究問題的時候把數和形結合起來考慮，并且把圖形的性質轉化為數量關系，可以使得復雜的問題簡單話，抽象問題具體化，所以數型結合是一個重要的數學思想。
在早期的人類活動中，其實人們就認識到了勾股定理的一些特征，傳說在公元前1000多年前我國就發現了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”來確定直角。但是有數學家對此也表示懷疑，例如美國的M?克萊因教授就曾經說過：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實。”不過在大約2000多年前的古巴比倫的泥版書上，經過考古專家的考證，在其中一塊泥版書上記錄著這樣的問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”很明顯這是一個勾股定理的例子。還有一塊泥版上刻著一些奇特的數表，在表中一共有四列十五行數字，不難看出這是一組勾股數，從右邊到左邊一共有15組勾股數，從這里可以看出勾股定理實際很早就被人們所認識。
對勾股定理進行分類討論可以對有可能出現的問題考慮得比較的完整，在解決問題的時候做到“不漏不重”。
證明勾股定理的方法很多，一一例舉是不可能的，本論文只簡單的討論了幾種簡單易懂的證明方法。那么，接下來我們來看一下證明勾股定理的這幾種方法。
1.通俗易懂的課本證明
2.經典的梅文鼎證法
例2：做四個全等的直角三角形，兩條直角邊邊長分別是a、b，斜邊為c。把這些三角形拼成如下圖所示的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上，過C作AC的延長線交DF于點P。
8.總結
勾股定理作為中學數學的基本定理之一，是我們學習數學的必修課程。本文討論了勾股定理的一些證明方法，簡單的闡述了勾股定理的背景，這可以讓我們對勾股定理能夠由更深的了解。本文證明勾股定理的這幾種方法都是比較簡單和常見的，但是也是從不同的方面進行的驗證，這會帶領大家更加深入的了解勾股定理的證明，啟發學生對學習的思考，養成多方面看待問題的思維習慣。通過本文主要是想讓學生能夠學好勾股定理，能夠運用勾股定理解決實際問題。學好勾股定理對我們今后的學習和研究由很大的幫助，所以我們學者對勾股定理的研究就顯得很有必要，也具有相當大的價值。
參考文獻
[1]趙爽.周脾算經注.2006.
[2]王工一.論《九章算術》和中國古代數學的特點[J].麗水學院學報.2006.
[3]王凱.勾股定理玉中國古代數學[J].邵陽學院學報.2005.
[4]張俊忠.史話勾股定理[J].中學生數理化.2002.
1.應用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形。
2.靈活應用勾股定理及逆定理解綜合題。
3.進一步加深性質定理與判定定理之間關系的認識。
二、重點、難點
1.重點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。
2.難點：利用勾股定理及逆定理解綜合題。
三、例題的意圖分析
例1(補充)利用因式分解和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀。
例2(補充)使學生掌握研究四邊形的問題，通常添置輔助線把它轉化為研究三角形的問題。本題輔助線作平行線間距離無法求解。創造3、4、5勾股數，利用勾股定理的逆定理證明DE就是平行線間距離。
例3(補充)勾股定理及逆定理的綜合應用，注意條件的轉化及變形。
四、課堂引入
勾股定理和它的逆定理是黃金搭檔，經常綜合應用來解決一些難度較大的題目。
五、例習題分析
例1(補充)已知：在ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
試判斷ABC的形狀。
一、注意分清直角邊和斜邊
例1 在Rt 中,a=8㎝,b=10㎝, ,求第三邊長c.
錯解:由勾股定理,得 , .所以第三邊長為 ㎝.
分析:本題解法中錯在沒有正確運用題中所給的條件,忽視了 ,由于 ,所以b應為斜邊,而不是c.
正解:因為 , , ,
,故第三邊長為 6㎝.
二、注意定理的應用條件
例2 已知 中,三邊長a、b、c為整數,其中a=3㎝,b=4㎝,求第三邊c的長.
錯解: 由勾股定理,得 , , (㎝).
分析: 勾股定理使的條件必須是在直角三角形中,本題解法是受"勾3股4弦5 "的影響,錯把 當成直角三角形,導致錯誤的使用勾股定理.
正解: 由三角形三邊關系可得 , ,又c為整數, C的長應為2㎝、3㎝、4㎝、5㎝或6㎝.
三、注意定理和逆定理的區別
例3 判斷下列三條線斷能否構成直角三角形:a=3、b=4、c=5.
錯解: ,即 ,所以根據勾股定理可知,a、b、c能構成直角三角形.
分析: 本題錯在在解題依據上混淆了定理和逆定理的條件結論,勾股定理是由"形"推得"數",而逆定理則是由"數"推得"形".因此不可混用.
正解: ,即 ,由勾股定理逆定理可知,三條線段能構成直角三角形.
四、注意解題語言敘述
例4 已知三角形的三邊長為5、12、13,試說明三角形是直角三角形.
錯解:因為直角邊是5和12,斜邊是13 ,所以 ,故三角形是直角三角形.
分析:解法中錯在一開始就明示了"直角邊"和"斜邊",事實上只有在三角形是直角三角形的條件下才能稱其為"直角邊"、"斜邊".
正解: ,滿足 ,由由勾股定理逆定理可知, 三角形是直角三角形.
五、注意分類討論
例5 在Rt 中,已知兩邊長為3、4,求第三邊的長.
錯解: 因為 是直角三角形, 的第三邊長為 .
分析: 本題錯在只考慮3、4為直角邊的可能,而忽視了4也可以作為斜邊的情況,因此須分類討論.
正解:(1)若4為直角邊,則第三邊的長為 ;(2) 若4為斜邊, 則第三邊的長為 .故第三邊長為5或 .
例6已知在 中,AB=4,AC=3,BC邊上的高等于2.4,求 的周長.
錯解:如圖1所示,
由勾股定理,得 ,
, .
的周長為 .
分析:上面解法中,只考慮了三角形的高在三角形內部的情況,忽視了高在形外的情況,即當 是鈍角三角形時.因此須分類討論.
正解: 由勾股定理,得 , .
(1)若 是銳角(如圖1),則 ,這時 的周長為
;
(2) 若 是鈍角(如圖2),
則 ,這時 的周長為 .所以 的周長為12或 .
例7已知在Rt 中,兩直角邊的長為20和15, ,求BD的長.
錯解: 如圖3所示,
由題意根據勾股定理,得 ,又由面積法可得
, ,在Rt 中,由勾股定理得BD= .
分析:本題錯在只考慮了AB的長是20的可能,忽視了AC的長也可能為20的情況.因此須分兩種情況求解.
正解: 由題意根據勾股定理,得 ,又由面積法可得 , .
(1)當AB=20時,如圖3,BD= .
(2) 當AC=20時,如圖4,
BD= .
二、探索性學習不可或缺的題材
數學新課程理念下的數學學習將大量采用操作實驗、自主探索、大膽猜測、合作交流、積極思考等活動方式。而勾股定理是
三、通過勾股定理的欣賞與應用，接受文化的洗禮與熏陶，體會數學獨特的魅力
勾股定理是一條古老的數學定理，不論哪個國家、民族，只要是具有自發的(不是外來的)古老文化，他們都會說：我們首先認識的數學定理就是勾股定理。在西方文獻中，勾股定理一直以古希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580－約前500)的名字來命名，稱為畢達哥拉斯定理。更有趣的是我國著名數學家華羅庚教授在《數學的用場和發展》一文中談到了想象中的首次宇宙“語言”時，就提出把“數形關系”(勾股定理)帶到其它星球，作為地球人與其它星球上的“人”進行第一次“談話”的語言。可以說勾股定理是傳承人類文明的使者，是人類智慧的結晶，是古代文化的精華。因此，世界各國都非常重視勾股定理的社會文化價值，許多國家還發行了諸多勾股定理的相關郵票。
勾股定理的教學過程：
1、巧妙展示定理
以《周髀算經》中西周開國時期周公與商高的對話引入：
周公問：天沒有階梯無法攀登，地沒有尺子無法丈量，請問怎樣才能求的天有多高，地有多廣呢？
商高答：“故折矩以為勾廣三、股修四，徑隅五”
這就是“勾三股四弦五”即勾股定理的由來，這條定理在西方又叫畢達哥拉斯定理或百牛定理。在畢達哥拉斯給出證明之后用以斬殺百牛來慶祝而得名。那么，勾股定理究竟是什么意思，它是怎樣證明的，等我們學習了這節課后就清楚了。
設計意圖：利用勾股定理的歷史起源來巧妙的展示定理，創設了一個學生感興趣的問題情境，引起學生的好奇心。
2、建立新舊聯系，展示勾股定理
回顧三角形的邊長知識，讓學生利用三角板畫任意大小的直角三角形，測量三邊并計算邊長的平方值。然后引導學生利用發現“直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”
設計意圖：讓學生體會歸納法的規律――由一般到特殊，并通過測量了解勾股定理的結論。
3、展示數學思想，介紹證明方法
上述測量結果得到的算式只能用“≈”表示，是因為測量總是存在誤差。在古代，沒有精密的測量工具，人們是怎么發現勾股定理的呢？
證明方法一：趙爽弦圖（出入相補證明法）
利用課前準備好的四個等大的直角三角形和一個正方形，模擬“趙爽弦圖”的推導過程，如下圖：
關鍵詞：勾股定理；歷史；證明
中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）10-0106-02
在我國最古老的數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公（西周著名的政治家，公元前1100年左右）向商高（周時的賢大夫）請教數學知識的對話，昔者周公問商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”商高曰：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，……以為勾廣三，股修四，徑偶五。既方之……”譯文：從前周公問商高：“我私下聽說你善于演算，請問遠古者包犧氏（傳說中的人物）對整個天空逐于量度之事是如何完成的，那天不能由臺階而上，地不能用尺寸來量，請問相關的數據是怎樣產生的？”商高說：“……在對矩形（長方形）沿對角線對折時，會產生短邊（勾）長為3，長邊（股）長為4，斜長（弦）為5的直角三角形的比率。”故有人稱之為“商高定理”。
【關鍵詞】數學史；勾股定理歷史；融入；教學策略
1.勾股定理歷史融入教學的意義
1.1 有利于激發興趣，培養探索精神
勾股定理的證明是一個難點.在數學教學中適時引入數學史中引人入勝和富有啟發意義的歷史話題或趣聞軼事，消除學生對數學的恐懼感，可使學生明白數學并不是一門枯燥無味的學科，而是一門不斷發展的生動有趣的學科，從而激發起學生學習數學的興趣.
1.2 有利于培養人文精神，加強歷史熏陶
學習數學史可以對學生進行愛國主義教育.浙教版新教材對我國勾股定理數學史提得很少，其實中國古代數學家對于勾股定理發現和證明在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，尤其是其中體現出來的數形結合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學的策略
在勾股定理教學的過程中，要求我們在教學活動中，注意結合教學實際和學生的經驗，依據一定的目的，對勾股定理歷史資源進行有效的選擇、組合、改造與創造性的加工，使學生容易接受、樂于接受，并能從中得到啟發.在實踐過程中，發現以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創設中融入勾股定理歷史
建構主義的學習理論強調情景創設要盡可能的真實，數學史總歸是真實的.情景創設可以充分考慮數學知識產生的背景和發展歷史，以數學史作為素材創設問題情景，不僅有助于數學知識的學習，也是對學生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發射了許多信號：如語言、聲音、各種圖形等.我國數學家華羅庚曾經建議向宇宙發射勾股定理的圖形，并說：如果宇宙人是文明人，他們一定會認識這種“語言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關的人.中國古代數學著作《周髀算經》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長度為三；另一邊名叫[股]，長度為四；斜邊名叫[弦]，長度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長……
《周髀算經》卷上還記載西周開國時期周公與商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，經偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來，《周髀算經》中已經利用了勾股定理來量地測天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為"畢達哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數學史不僅給出了確定的知識，還可以給出知識的創造過程，對這種過程的再現，不僅能使學生體會到數學家的思維過程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學不再是單純地傳授知識的過程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補”原理證明了勾股定理，“出入相補”見于劉徽為《九章算術》勾股數──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補成弦方，劉徽未具體提示，學界比較常見的推測是如下圖.
③剪拼法（學生動手驗證）
證明方法之特征：數形結合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數學問題趣味化.
翻開古今的數學史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠，所有的數學知識都蘊涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓.將數學史的知識融入數學教學中，發揮數學史料的功能，是數學教育改革的一項有力的措施.正象法國數學家包羅·朗之萬所說：“在數學教學中，加入歷史具有百利而無一弊.”
參考文獻
[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準 （實驗稿） 》[S] 北京：北京師范大學出版社
【關鍵詞】勾股定理；體驗探究；勾股定理的證法；剪切拼圖法；風車證法；勾股數組
一、創設思維情境，引出并體驗勾股定理
數學教學是師生之間、同學之間交流、互動與共同發展的過程.我們的教學應從學生的實際出發，創設有助于學生自主學習的情境，引導學生通過實踐、思考、探究、交流，主動地豐富自己的數學知識和能力。為此，在我的教學過程中將自己所任課的班分成5個研究性學習小組，各組有人負責，并聘請老師參加和指導。
勾股定理是一個古老而有趣的問題，幾乎每位同學都知道“勾三股四弦五”這個定理的特例。即若直角三角形兩直角邊長分別為3和4，斜邊長為5，則存在32+42=52這種關系。
在RtABC中，記AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2這種關系呢？為體驗這個事實，我們再作些直角三角形，并測量所求結果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精確到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）題，作直角三角形，測量的結果分別是13，4.5，第三題可先作直徑為10的半圓，量出弦BC=6，測得b=8，且∠ACB為直角。第（4）題與第三題類同，測得a=7。
體驗是“人們存在的方式”，是人的“素質形成與發展的核心環節”，只有讓學生在學習過程中不斷體驗，才會激起學生無休止的好奇心、探索欲和創造力。經過上述反復體驗，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b為直角邊長，c為斜邊長，則：a2+b2=c2。
進而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三邊長分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則：ABC為直角三角形。
二、探究勾股定理的證明
老師可提前布置各小組同學，去尋找勾股定理的不同證法和廣泛應用。在數學課（或研究課）上，各小組可指派代表發言和演示，給出他們研究和探索的結果，經過師生互相交流，大家對勾股定理的證明和應用全面認識和深刻的理解。總結各小組的證法如下：
證法一：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖1）如大正方形的面積與四個直角三角形的面積之和，則有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
證法二：將四個全等的直角三角形平鋪拼圖（如圖2），則：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
證法三：將并排的兩個正方形進行割補（如圖3）將剪掉的標有1、2、3的三角形填補，在大正方形的1、2、3處。由面積等式，則：a2+b2=c2
證法四：利用射影定理證明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=AD?AB，BC2=DB?AB
AC2+BC2=AD?AB+DB?AB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面給出比較著名的兩個證法――證法五（如圖4）和證法六（如圖5）
在圖4中，因為分割長直角邊上的正方形，使其形如風車，所以這一方法稱為“風車證法”。“風車證法”的剪拼步驟如下（如圖6）：
作正方形的中心O；
過O做直線垂直AB交正方形的兩邊與M、N；
過O做直線垂直MN交正方形的另外兩邊與P、Q；
沿線段MN、PQ剪開即可。
至于為什么MN要垂直AB，我可以從平移變換的角度來考慮。簡單的說，那是因為四邊形BMOP經平移變為GFAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在眾多剪拼方法和證明方法中，有的人還提出了一些不夠直觀甚至是錯誤的方法，對于這些方法也不要輕易放棄，教師要珍重每位同學構思出來的方法。即使做法和結論是錯誤的，我們也要找出錯誤的原因，從中吸取經驗和受到啟發。要通過觀察、思考、動手試驗等過程引導學生不斷探究新的數學內容和數學方法。
三、勾股數組
我們把滿足x2+y2=z2的三個正整數x、y、z叫勾股數。（x、y、z）叫做勾股數組。如果（x，y，z）=1，則這樣的勾股數組叫做基本勾股數組。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股數組，而（6，8，10）不是基本勾股數組.容易看出，若（x，y，z）是一個基本勾股數組，則（kx、ky，kz）都是勾股數組。
我們把邊長為勾股數的三角形叫做勾股三角形。這里我們又得到另一個應用。
定理：勾股三角形的內切圓的半徑一定是整數.
證明：設RtABC的內切圓半徑為r，則r=■
由于勾股數a、b、c不能同時為奇數，所以a+b-c為偶數，從而r為整數。
許多數學問題規律性很強，我們總希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股數組，這里將我們師生探究勾股數得到的結論給出來。設Rt的直角邊長為x，y，斜邊長為z，且n，s，t都是正整數，則勾股數組有兩類：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或 x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
從表中我們發現，第一類勾股數滿足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二類勾股數組不是基本的，但它對第一類給以補充。我們還發現許多有趣的結論，如：x，y，z不可能都是奇數，它們中可以有一個偶數或全部是偶數。再如：（x，y，z）是基本勾股數組，則x，y中必有一個能被3整除，等等。
在勾股定理的學習過程中，給我們帶來的啟示很多，首先是這個古老問題有探究不盡的課題。它的不同證法，廣泛的應用以及勾股數的趣味性給我們拓寬了眼界，打通了思路，不僅是對知識的傳承，更多的是激發了我們師生對數學產生了濃厚的興趣，獲得更多更好的數學知識和數學方法，提高了空間想象能力和創造性思維。
【參考文獻】
