時間：2022-06-12 06:39:40
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1.使學生初步掌握一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟;并會列出一元一次方程解簡單的應用題;
2.培養學生觀察能力，提高他們分析問題和解決問題的能力;
3.使學生初步養成正確思考問題的良好習慣.
教學重點和難點
一元一次方程解簡單的應用題的方法和步驟.
課堂教學過程設計
一、從學生原有的認知結構提出問題
在小學算術中，我們學習了用算術方法解決實際問題的有關知識，那么，一個實際問題能否應用一元一次方程來解決呢?若能解決，怎樣解?用一元一次方程解應用題與用算術方法解應用題相比較，它有什么優越性呢?
為了回答上述這幾個問題，我們來看下面這個例題.
例1某數的3倍減2等于某數與4的和，求某數.
(首先，用算術方法解，由學生回答，教師板書)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3.
答：某數為3.
(其次，用代數方法來解，教師引導，學生口述完成)
解法2：設某數為x，則有3x-2=x+4.
解之，得x=3.
答：某數為3.
縱觀例1的這兩種解法，很明顯，算術方法不易思考，而應用設未知數，列出方程并通過解方程求得應用題的解的方法，有一種化難為易之感，這就是我們學習運用一元一次方程解應用題的目的之一.
我們知道方程是一個含有未知數的等式，而等式表示了一個相等關系.因此對于任何一個應用題中提供的條件，應首先從中找出一個相等關系，然后再將這個相等關系表示成方程.
本節課，我們就通過實例來說明怎樣尋找一個相等的關系和把這個相等關系轉化為方程的方法和步驟.
二、師生共同分析、研究一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟
例2某面粉倉庫存放的面粉運出15%后，還剩余42500千克，這個倉庫原來有多少面粉?
師生共同分析：
1.本題中給出的已知量和未知量各是什么?
2.已知量與未知量之間存在著怎樣的相等關系?(原來重量-運出重量=剩余重量)
3.若設原來面粉有x千克，則運出面粉可表示為多少千克?利用上述相等關系，如何布列方程?
上述分析過程可列表如下：
解：設原來有x千克面粉，那么運出了15%x千克，由題意，得
x-15%x=42500，
所以x=50000.
答：原來有50000千克面粉.
此時，讓學生討論：本題的相等關系除了上述表達形式以外，是否還有其他表達形式?若有，是什么?
(還有，原來重量=運出重量+剩余重量;原來重量-剩余重量=運出重量)
教師應指出：(1)這兩種相等關系的表達形式與“原來重量-運出重量=剩余重量”，雖形式上不同，但實質是一樣的，可以任意選擇其中的一個相等關系來列方程;
(2)例2的解方程過程較為簡捷，同學應注意模仿.
依據例2的分析與解答過程，首先請同學們思考列一元一次方程解應用題的方法和步驟;然后，采取提問的方式，進行反饋;最后，根據學生總結的情況，教師總結如下：
(1)仔細審題，透徹理解題意.即弄清已知量、未知量及其相互關系，并用字母(如x)表示題中的一個合理未知數;
(2)根據題意找出能夠表示應用題全部含義的一個相等關系.(這是關鍵一步);
(3)根據相等關系，正確列出方程.即所列的方程應滿足兩邊的量要相等;方程兩邊的代數式的單位要相同;題中條件應充分利用，不能漏也不能將一個條件重復利用等;
(4)求出所列方程的解;
(5)檢驗后明確地、完整地寫出答案.這里要求的檢驗應是，檢驗所求出的解既能使方程成立，又能使應用題有意義.
例3(投影)初一2班第一小組同學去蘋果園參加勞動，休息時工人師傅摘蘋果分給同學，若每人3個還剩余9個;若每人5個還有一個人分4個，試問第一小組有多少學生，共摘了多少個蘋果?
(仿照例2的分析方法分析本題，如學生在某處感到困難，教師應做適當點撥.解答過程請一名學生板演，教師巡視，及時糾正學生在書寫本題時可能出現的各種錯誤.并嚴格規范書寫格式)
解：設第一小組有x個學生，依題意，得
3x+9=5x-(5-4)，
解這個方程：2x=10，
所以x=5.
其蘋果數為3×5+9=24.
答：第一小組有5名同學，共摘蘋果24個.
學生板演后，引導學生探討此題是否可有其他解法，并列出方程.
(設第一小組共摘了x個蘋果，則依題意，得)
三、課堂練習
1.買4本練習本與3支鉛筆一共用了1.24元，已知鉛筆每支0.12元，問練習本每本多少元?
2.我國城鄉居民1988年末的儲蓄存款達到3802億元，比1978年末的儲蓄存款的18倍還多4億元.求1978年末的儲蓄存款.
3.某工廠女工人占全廠總人數的35%，男工比女工多252人，求全廠總人數.
四、師生共同小結
首先，讓學生回答如下問題：
1.本節課學習了哪些內容?
2.列一元一次方程解應用題的方法和步驟是什么?
3.在運用上述方法和步驟時應注意什么?
依據學生的回答情況，教師總結如下：
(1)代數方法的基本步驟是：全面掌握題意;恰當選擇變數;找出相等關系;布列方程求解;檢驗書寫答案.其中第三步是關鍵;
(2)以上步驟同學應在理解的基礎上記憶.
五、作業
1.買3千克蘋果，付出10元，找回3角4分.問每千克蘋果多少錢?
2.用76厘米長的鐵絲做一個長方形的教具，要使寬是16厘米，那么長是多少厘米?
3.某廠去年10月份生產電視機2050臺，這比前年10月產量的2倍還多150臺.這家工廠前年10月生產電視機多少臺?
1．使學生會解含有字母系數的一元一次方程。
教學分析
重點：含字母系數的一元一次方程的解法。
難點：含字母系數的一元一次方程的解法。
教學過程
一、復習
1．什么叫方程？什么叫方程的解？什么叫解方程？
2．試述一元一次方程的意義及解一元一次方程的步驟。
3．什么叫分式？分式有意義的條件是什么？
二、新授
1．含有字母系數的一元一次方程
引例：一數的a倍（a≠0）等于b，求這個數。
用x表示這個數，根據題意，可得方程
ax=b（a≠0）
在這個方程中，x是未知數，a和b是用字母表示的已知數。對x來說，字母a是x的系數，b是常數項。這個方程就是一個含有字母系數的一元一次方程。
含有字母系數的方程的解法與以前學過的只含有數字系數的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。
例如：解方程5x+6=3x+10與解方程ax+b=cx+d。
解：移項，5x-3x=10-6，ax-cx=d-b，
合并同類項，2x=4，（a-c）x=d-b，
x=2。當a-c≠0時，
x=.
可以看出，上述兩個方程的解法及其步驟基本相同。只是最后一步，從2x=4與（a-c）x=d-b中求出x不同，其中2≠0是很明顯的，所以得x=2。而a-c必須指明a-c≠0時x=.
例1解方程ax+b2=bx+a2（a≠0）.
解：移項，得ax-bx=a2-b2，
合并同類項，得（a-b）x=a2-b2。
因為a≠b，所以a-b≠0，方程兩邊同除以a-b，得
x=，x=a+b.
注意：方程的解是分式時，一般要化成最簡分式或整式。
例2解方程。
解：去分母，得b（x-b）=2ab-a（x-a），
去括號，得bx-b2=2ab-ax+a2，
移項，得ax+bx=a2+2ab+b2，
分解因式，得（a+b）x=（a+b）2。
a+b≠0，x=a+b。
三、練習
練習：P90中練習1，2，3，4。
四、小結
本課內容：含有字母系數的一元一次方程的解法。
五、作業
作業：P93中習題9.5A組7，8，9。
需要注意的幾個問題
一、素質教育目標
（一）知識教學點：1．正確理解因式分解法的實質．2．熟練掌握運用因式分解法解一元二次方程．
（二）能力訓練點：通過新方法的學習，培養學生分析問題解決問題的能力及探索精神．
（三）德育滲透點：通過因式分解法的學習使學生樹立轉化的思想．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：用因式分解法解一元二次方程．
式）
3．教學疑點：理解“充要條件”、“或”、“且”的含義．
三、教學步驟
（一）明確目標
學習了公式法，便可以解所有的一元二次方程．對于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果轉化為一般形式，利用公式法就比較麻煩，如果轉化為x－2＝0或x＋3＝0，解起來就變得簡單多了．即可得x1＝2，x2＝-3．這種解一元二次方程的方法就是本節課要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．
（二）整體感知
所謂因式分解，是將一個多項式分解成幾個一次因式積的形式．如果一元二次方程的左邊是一個易于分解成兩個一次因式積的二次三項式，而右邊為零．用因式分解法更為簡單．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，這樣就將原來的一元二次方程轉化為一元一次方程，方程便易于求解．可以說二次三項式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的關鍵．“如果兩個因式的積等于零，那么兩個因式至少有一個等于零”是因式分解法解方程的理論依據．方程的左邊易于分解，而方程的右邊等于零是因式分解法解方程的條件．滿足這樣條件的一元二次方程用因式分解法最簡單．
（三）重點、難點的學習與目標完成過程
1．復習提問
零，那么這兩個因式至少有一個等于零．反之，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零．
“或”有下列三層含義
①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0
2．例1解方程x2＋2x＝0．
解：原方程可變形x（x＋2）＝0……第一步
x＝0或x＋2＝0……第二步
x1=0，x2=-2．
教師提問、板書，學生回答．
分析步驟（一）第一步變形的方法是“因式分解”，第二步變形的理論根據是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零”．分析步驟（二）對于一元二次方程，一邊是零，而另一邊易于分解成兩個一次式時，可以得到兩個一元一次方程，這兩個一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此種方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步實現了由二次向一次的“轉化”，達到了“降次”的目的，解高次方程常用轉化的思想方法．
例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．
解：原方程可變形為（x＋5）（x-3）＝0．
得，x＋5＝0或x-3＝0．
x1＝-5，x2＝3．
教師板演，學生回答，總結因式分解的步驟：（一）方程化為一般形式；（二）方程左邊因式分解；（三）至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程；（四）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．
練習：P．22中1、2．
第一題學生口答，第二題學生筆答，板演．
體會步驟及每一步的依據．
例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．
解：原方程可變形為（x-2）（3-x）＝0．
x-2＝0或3-x＝0．
x1＝2，x2＝3．
教師板演，學生回答．
此方程不需去括號將方程變成一般形式．對于總結的步驟要具體情況具體分析．
練習P．22中3．
（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.
解：原式可變形為（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．
[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0
即：（5x-4）（x＋8）=0．
5x-4＝0或x＋8＝0．
學生練習、板演、評價．教師引導，強化．
練習：解下列關于x的方程
6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．
學生練習、板演．教師強化，引導，訓練其運算的速度．
練習P．22中4．
（四）總結、擴展
1．因式分解法的條件是方程左邊易于分解，而右邊等于零，關鍵是熟練掌握因式分解的知識，理論依舊是“如果兩個因式的積等于零，那么至少有一個因式等于零．”
四、布置作業
教材P．21中A1、2．
教材P．23中B1、2（學有余力的學生做）．
2．因式分解法解一元二次方程的步驟是：
（1）化方程為一般形式；
（2）將方程左邊因式分解；
（3）至少有一個因式為零，得到兩個一元二次方程；
（4）兩個一元一次方程的解就是原方程的解．
但要具體情況具體分析．
3．因式分解的方法，突出了轉化的思想方法，鮮明地顯示了“二次”轉化為“一次”的過程．
五、板書設計
12．2用因式分解法解一元二次方程（一）
例1．……例2……
二、因式分解法的步驟
（1）……練習：……
（2）…………
（3）……
（4）……
但要具體情況具體分析
六、作業參考答案
教材P．21中A1
（1）x1=-6，x2=-1
（2）x1=6，x2=-1
（3）y1=15，y2=2
（4）y1=12，y2=-5
（5）x1=1，x2=-11，
（6）x1=-2，x2=14
教材P．21中A2略
（1）解：原式可變為：（5mx-7）（mx-2）＝0
5mx-7=0或mx-b＝0
又m≠0
（2）解：原式可變形為
（2ax＋3b）（5ax-b）＝0
2ax＋3b＝0
或5ax-b＝0
a≠0
教材P．23中B
1．解：（1）由y的值等于0
得x2-2x-3=0
變形為（x-3）（x＋1）＝0
x-3＝0或x+1=0
x1＝3，x2=-1
（2）由y的值等于-4
得x2-2x-3=-4
方程變形為x2-2x＋1=0
（x-1）2=0
解得x1=x2=1
當x=3或x＝-1時，y的值為0
當x=1時，y的值等于-4
教材P．23中B2
證明：x2-7xy＋12y2＝0
（x-3y）（x-4y）=0
一、素質教育目標
（一）知識教學點：認識形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數）類型的方程，并會用直接開平方法解．
（二）能力訓練點：培養學生準確而簡潔的計算能力及抽象概括能力．
（三）德育滲透點：通過兩邊同時開平方，將2次方程轉化為一次方程，向學生滲透數學新知識的學習往往由未知（新知識）向已知（舊知識）轉化，這是研究數學問題常用的方法，化未知為已知．
二、教學重點、難點
1．教學重點：用直接開平方法解一元二次方程．
2．教學難點：（1）認清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c為常數）這樣結構特點的一元二次方程適用于直接開平方法．（2）一元二次方程可能有兩個不相等的實數解，也可能有兩個相等的實數解，也可能無實數解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常數），當c＞0時，有兩個不等的實數解，c＝0時，有兩個相等的實數解，c＜0時無實數解．
三、教學步驟
（一）明確目標
在初二代數“數的開方”這一章中，學習了平方根和開平方運算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一個數平方根的運算叫做開平方運算”．正確理解這個概念，在本節課我們就可得到最簡單的一元二次方程x2＝a的解法，在此基礎上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常數，a≠0，c≥0）結構特點的一元二次方程，從而達到本節課的目的．
（二）整體感知
通過本節課的學習，使學生充分認識到：數學的新知識是建立在舊知識的基礎上，化未知為已知是研究數學問題的一種方法，本節課引進的直接開平方法是建立在初二代數中平方根及開平方運算的基礎上，可以說平方根的概念對初二代數和初三代數起到了承上啟下的作用．而直接開平方法又為一元二次方程的其他解法打下堅實的基礎，此法可以說起到一個拋磚引玉的作用．學生通過本節課的學習應深刻領會數學以舊引新的思維方法，在已學知識的基礎上開發學生的創新意識．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）什么叫整式方程？舉兩例，一元一次方程及一元二次方程的異同？
（2）平方根的概念及開平方運算？
2．引例：解方程x2-4=0．
解：移項，得x2＝4．
兩邊開平方，得x＝±2．
x1＝2，x2＝-2．
分析x2＝4，一個數x的平方等于4，這個數x叫做4的平方根（或二次方根）；據平方根的性質，一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；所以這個數x為±2．求一個數平方根的運算叫做開平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．使學生體會到直接開平方法的實質是求一個數平方根的運算．
練習：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．學生在練習、板演過程中充分體會直接開平方法的步驟以及蘊含著關于平方根的一些概念．
3．例1解方程9x2-16＝0．
解：移項，得：9x2=16，
此例題是在引例的基礎上將二次項系數由1變為9，由此增加將二次項系數變為1的步驟．此題解法教師板書，學生回答，再次強化解題
負根．
練習：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．
例2解方程（x＋3）2＝2．
分析：把x＋3看成一個整體y．
例2把引例中的x變為x+3，反之就應把例2中的x+3看成一個整體，
兩邊同時開平方，將二次方程轉化為兩個一次方程，便求得方程的兩個解．可以說：利用平方根的概念，通過兩邊開平方，達到降次的目的，化未知為已知，體現一種轉化的思想．
練習：教材P．8中2，此組練習更重要的是體會方程的左邊不是未知數的平方，而是含有未知數的代數式的平方，而右邊是個非負實數，采用直接開平方法便可以求解．
例3解方程（2-x）2-81＝0．
解法（一）
移項，得：（2-x）2＝81．
兩邊開平方，得：2-x=±9
2-x＝9或2-x＝-9．
x1=-7，x2＝11．
解法（二）
（2-x）2＝（x-2）2，
原方程可變形，得（x-2）2=81．
兩邊開平方，得x-2＝±9．
x-2＝9或x-2＝-9．
x1＝11，x2＝-7．
比較兩種方法，方法（二）較簡單，不易出錯．在解方程的過程中，要注意方程的結構特點，進行靈活適當的變換，擇其簡捷的方法，達到又快又準地求出方程解的目的．
練習：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
在實數范圍內解一元二次方程，要求出滿足這個方程的所有實數根，提醒學生注意不要丟掉負根，例x2＋36＝0，由于適合這個方程的實數x不存在，因為負數沒有平方根，所以原方程無實數根．-x2＝0，適合這個方程的根有兩個，都是零．由此滲透方程根的存在情況．以上在教師恰當語言的引導下，由學生得出結論，培養學生善于思考的習慣和探索問題的精神．
那么具有怎樣結構特點的一元二次方程用直接開平方法來解比較簡單呢？啟發引導學生，抽象概括出方程的結構：（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數，a≠0，c≥0），即方程的一邊是含有未知數的一次式的平方，另一邊是非負實數．
（四）總結、擴展
引導學生進行本節課的小節．
1．如果一元二次方程的一邊是含有未知數的一次式的平方，另一邊是一個非負常數，便可用直接開平方法來解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c為常數，a≠0，c≥0）．
2．平方根的概念為直接開平方法的引入奠定了基礎，同時直接開平方法也為其它一元二次方程的解法起了一個拋磚引玉的作用．兩邊開平方實際上是實現方程由2次轉化為一次，實現了由未知向已知的轉化．由高次向低次的轉化，是高次方程解法的一種根本途徑．
3．一元二次方程可能有兩個不同的實數解，也可能有兩個相同的實數解，也可能無實數解．
四、布置作業
1．教材P．15中A1、2、
2、P10練習1、2；
P．16中B1、（學有余力的學生做）．
五、板書設計
12．1用公式解一元二次方程（二）
引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0
解：…………
……例2解方程（x＋3）2＝2
此種解一元二次方程的方法稱為直接開平方法
形如（ax＋b）2＝c（a，b，
c為常數，a≠0，c≥0）可用直接開平方法
六、部分習題參考答案
教材P．15A1
以上（5）改為（3）（6）改為（4），去掉（7）（8）
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1．熟練運用判別式判別一元二次方程根的情況．
2．學會運用判別式求符合題意的字母的取值范圍和進行有關的證明．
（二）能力訓練點：
1．培養學生思維的嚴密性，邏輯性和靈活性．
2．培養學生的推理論證能力．
（三）德育滲透點：通過例題教學，滲透分類的思想．
二、教學重點、難點、疑點及解決方法
1．教學重點：運用判別式求出符合題意的字母的取值范圍．
2．教學難點：教科書上的黑體字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根”可看作一個定理，書上的“反過來也成立”，實際上是指它的逆命題也成立．對此的正確理解是本節課的難點．可以把這個逆命題作為逆定理．
三、教學步驟
（一）明確目標
上節課學習了一元二次方程根的判別式，得出結論：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當＞0時，有兩個不相等的實數根；當=0時，有兩個相等的實數根；當＜0時，沒有實數根．”這個結論可以看作是一個定理．在這個判別方法中，包含了所有各種情況，所以反過來也成立，也就是說上述結論的逆命題是成立的，可作為定理用．本節課的目標就是利用其逆定理，求符合題意的字母的取值范圍，以及進行有關的證明．
（二）整體感知
本節課是上節課的延續和深化，主要是在“明確目標”中所提的逆定理的應用．通過本節課的內容的學習，更加深刻體會到“定理”與“逆定理”的靈活應用．不但不求根就可以知道根的情況，而且知道根的情況，還可以確定待定的未知數系數的取值，本節課內容對學生嚴密的邏輯思維及思維全面性進行恰如其分的訓練．
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1．復習提問
（1）一元二次方程的一般形式？說出二次項系數，一次項系數及常數項．
（2）一元二次方程的根的判別式是什么？用它怎樣判別根的情況？
2．將復習提問中的問題（2）的正確答案板書，反之，即此命題的逆命題也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有兩個不相等的實數根，則＞0；如果方程有兩個相等的實數根，則=0；如果方程沒有實數根，則＜0．”即根據方程的根的情況，可以決定值的符號，‘’的符號，可以確定待定的字母的取值范圍．請看下面的例題：
例1已知關于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值時
（1）方程有兩個不相等的實數根；
（2）方程有兩個相等的實數根；
（1）方程無實數根．
解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，
b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）
＝8k+9．
方程有兩個不相等的實數根．
方程有兩個相等的實數根．
方程無實數根．
本題應先算出“”的值，再進行判別．注意書寫步驟的簡練清楚．
練習1．已知關于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值時，（1）方程有兩個不相等的實數根？（2）方程有兩個相等的實數根？（3）方程沒有實數根？
學生模仿例題步驟板書、筆答、體會．
教師評價，糾正不精練的步驟．
假設二項系數不是2，也不是1，而是k，還需考慮什么呢？如何作答？
練習2．已知：關于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有兩個實數根，求k的取值范圍．
和學生一起審題（1）“關于x的一元二次方程”應考慮到k≠0．（2）“方程有兩個實數根”應是有兩個相等的實數根或有兩個不相等的實數根，可得到≥0．由k≠0且≥0確定k的取值范圍．
解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．
原方程有兩個實數根．
學生板書、筆答，教師點撥、評價．
例求證：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0沒有實數根．
分析：將算出，論證＜0即可得證．
證明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
不論m為任何實數，（m2＋2）2＞0．
-4（m2＋2）2＜0，即＜0．
（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，沒有實根．
本題結論論證的依據是“當＜0，方程無實數根”，在論證＜0時，先將恒等變形，得到判斷．一般情況都是配方后變形為：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……從而得到判斷．
本題是一道代數證明題，和幾何類似，一定要做到步步有據，推理嚴謹．
此種題型的步驟可歸納如下：
（1）計算；（2）用配方法將恒等變形；
（3）判斷的符號；（4）結論．
練習：證明（x-1）（x-2）=k2有兩個不相等的實數根．
提示：將括號打開，整理成一般形式．
學生板書、筆答、評價、教師點撥．
（四）總結、擴展
1．本節課的主要內容是教科書上黑體字的應用，求符合題意的字母的取值范圍以及進行有關的證明．須注意以下幾點：
（1）要用b2-4ac，要特別注意二次項系數不為零這一條件．
（2）認真審題，嚴格區分條件和結論，譬如是已知＞0，還是要證明＞0．
（3）要證明≥0或＜0，需將恒等變形為a2＋2，-（a＋2）2……從而得到判斷．
2．提高分析問題、解決問題的能力，提高推理嚴密性和思維全面性的能力．
四、布置作業
1．教材P．29中B1，2，3．
2．當方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有實數根時，求a的正整數解．
（2、3學有余力的學生做．）
五、板書設計
12．3一元二次方程根的判別式（二）
一、判別式的意義：……三、例1……四、例2……
=b2-4ac…………
二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
（1）當＞0，……練習1……練習2……
（2）當＝0，……
（3）當＜0，……
反之也成立．
六、作業參考答案
方程沒有實數根．
B3．證明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5
當k無論取何實數，4k2≥0，則4k2＋5＞0
＞0
方程x2+（2k+1）x+k-1=0有兩個不相等的實數根．
2．解：方程有實根，
＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0
即：a≤3，a的正整數解為1，2，3
當a＝1，2，3時，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有實根．
3．分析：“方程”是一元一次方程，還是一元二次方程，需分情況討論：
（2）當2m-1≠0時，
1．了解整式方程和一元二次方程的概念；
2．知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。
3．通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學重點和難點：
重點：一元二次方程的概念和它的一般形式。
難點：對一元二次方程的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。
教學建議：
1．教材分析：
1）知識結構：本小節首先通過實例引出一元二次方程的概念，介紹了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各項的名稱。
2）重點、難點分析
理解一元二次方程的定義：
是一元二次方程的重要組成部分。方程，只有當時，才叫做一元二次方程。如果且，它就是一元二次方程了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：
（1）一元二次方程的條件是確定的，如方程（），把它化成一般形式為，由于，所以，符合一元二次方程的定義。
（2）條件是用“關于的一元二次方程”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于的一元二次方程”，這時題中隱含了的條件，這在解題中是不能忽略的。
（3）方程中含有字母系數的項，且出現“關于的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于的方程”，這就有兩種可能，當時，它是一元一次方程；當時，它是一元二次方程，解題時就會有不同的結果。
教學目的
1.了解整式方程和一元二次方程的概念；
2.知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。
3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。
教學難點和難點:
重點:
1．一元二次方程的有關概念
2．會把一元二次方程化成一般形式
難點:一元二次方程的含義.
教學過程設計
一、引入新課
引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?
分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。
2.這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。
3．讓學生自己列出方程(x（x十5）＝150)
深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？
二、新課
1．從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)
2．什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程．(板書一元二次方程的定義)
3．強化一元二次方程的概念
下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?
(1)3x十2＝5x—3：(2)x2＝4
(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；(4)(x—1)(x—2)＝x2十8
從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。
4.一元二次方程概念的延伸
提問：一元二次方程很多嗎?你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎?
引導學生回顧一元二次方程的定義，分析一元二次方程項的情況，啟發學生運用字母，找到一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
1）．提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。
2）．講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱．
3）．強調：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。
強化概念（課本P6）
1．說出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項：
（1）x2十3x十2＝O（2）x2—3x十4＝0；(3)3x2-5＝0
（4）4x2十3x—2＝0；(5)3x2—5＝0；(6)6x2—x=0。
2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：
(1)6x2＝3-7x；(3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2
課堂小節
(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；
(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；
一、重點、難點分析
本節教學的重點是使學生了解二元一次方程、二元一次方程組以及二元一次方程組的解的含義，會檢驗一對數值是否是某個二元一次方程組的解．難點是了解二元一次方程組的解的含義．這里困難在于從1個數值變成了2個數值，而且這2個數值合在一起，才算作二元一次方程組的解．用大括號來表示二元一次方程組的解，可以使學生從形式上克服理解的困難；而講清問題中已含有兩個互相聯系著的未知數，把它們的值都寫出來才是問題的解答．這是克服這一難點的關鍵所在．
二、知識結構
本小節通過求兩個未知數的實際問題，先應用學生以學過的一元一次方程知識去解決，然后嘗試設兩個未知數，根據題目中的兩個條件列出兩個方程，從而引入二元一次方程、二元一次方程組（用描述的語言）以及二元一次方程組的解等概念．
三、教法建議
1．教師通過復習方程及其解和解方程等知識，創設情境，導入課題，并引入二元一次方程和二元一次方程組的概念．
2．通過反復的練習讓學生學會正確的判斷二元一次方程及二元一次方程組．
3．通過二元一次方程組的解的概念的教學，通過教師的示范作用，讓學生學會正確地去檢驗二元一次方程組的解的問題．
4．為了減少學習上的困難，使學生學到最基本、最實用的知識，教學中不宜介紹相依方程組如
和矛盾方程組如
等概念，也不要使方程組中任何一個方程的未知數的系數全部為0（因為這種數學中的特例較少實際意義）當然，作為特例，出現類似
之類的二元一次方程組是可以的，這時可以告訴學生，方程（1）中未知數的系數為0，方程（1）也看作一個二元一次方程．
教學設計示例
一、素質教育目標
（－）知識教學點
1．了解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的概念．
2．會將一個二元一次方程寫成用含一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式．
3．會檢驗一對數值是不是某個二元一次方程組的解．
（二）能力訓練點
培養學生分析問題、解決問題的能力和計算能力．
（三）德育滲透點
培養學生嚴格認真的學習態度．
（四）美育滲透點
通過本節的學習，滲透方程組的解必須滿足方程組中的每一個方程恒等的數學美，激發學生探究數學奧秘的興趣和激情．
二、學法引導
1．教學方法：討論法、練習法、嘗試指導法．
2．學生學法：理解二元一次方程和二元一次方程組及其解的概念，并對比方程及其解的概念，以強化對概念的辨析；同時規范檢驗方程組的解的書寫過程，為今后的學習打下良好的數學基礎．
三、重點·難點·疑點及解決辦法
（－）重點
使學生了解二元一次方程、二元一次方程組以及二元一次方程組的解的含義，會檢驗一對數值是否是某個二元一次方程組的解．
（二）難點
了解二元一次方程組的解的含義．
（三）疑點及解決辦法
檢驗一對未知數的值是否為某個二元一次方程組的解必須同時滿足方程組的兩個方程，這是本節課的疑點．在教學中只要通過多舉一系列的反例來說明，就可以辨析解決好該問題了．
四、課時安排
一課時．
五、教具學具準備
電腦或投影儀、自制膠片．
六、師生互動活動設計
1．教師通過復習方程及其解和解方程等知識，創設情境，導入課題，并引入二元一次方程和二元一次方程組的概念．
2．通過反復的練習讓學生學會正確的判斷二元一次方程及二元一次方程組．
3．通過二元一次方程組的解的概念的教學，通過教師的示范作用，讓學生學會正確地去檢驗二元一次方程組的解的問題．
七、教學步驟
（－）明確目標
本節課的教學目標為理解二元一次方程及二元一次方程組的概念并會判斷一對未知數的值是否為二元一次方程組的解．
（二）整體感知
由復習方程及其解，導入二元一次方程及二元一次方程組的概念，并會判斷它們；同時學會用一個未知數表達另一個未知數為今后的解方程組埋下伏筆；最后學會檢驗二元一次方程組解的問題．
（三）教學過程
1．創設情境、復習導入
（1）什么叫方程？什么叫方程的解和解方程？你能舉一個一元一次方程的例子嗎？
回答老師提出的問題并自由舉例．
【教法說明】提此問題，可使學生頭腦中再現有關一元一次方程的知識，為學元一次方程做鋪墊．
（2）列一元一次方程求解．
香蕉的售價為5元／千克，蘋果的售價為3元／千克，小華共買了香蕉和蘋果9千克，付款33元，香蕉和蘋果各買了多少千克？
學生活動：思考，設未知數，回答．
設買了香蕉千克，那么蘋果買了千克，
根據題意，得
解這個方程，得
答：小華買了香蕉3千克，蘋果6千克．
上面的問題中，要求的是兩個數，能不能同時設兩個未知數呢？
設買了香蕉千克，買了蘋果千克，根據題意可得兩個方程
觀察以上兩個方程是否為一元一次方程，如果不是，那么這兩個方程有什么共同特點？
觀察、討論、舉手發言，總結兩個方程的共同特點．
方程里含有兩個未知數，并且未知項的次數是1，像這樣的方程，叫做二元一次方程．
這節課，我們就開始學習與二元一次方程密切相關的知識—二元一次方程組．
【教法說明】學生自己歸納總結出方程的特點之后給出二元一次方程的概念，比直接定義印象會更深刻，有助于對概念的理解．
2．探索新知，講授新課
（1）關于二元一次方程的教學．
我們已經知道了什么是二元一次方程，下面完成練習．
練習一
判斷下列方程是否為二元一次方程，并說明理由．
①②③
④⑤⑥
練
分組練習：同桌結組，一人舉例，一人判斷是否為二元一次方程．
學生活動：以搶答形式完成練習1，指定幾組同學完成練習2．
【教法說明】這樣做既可以活躍氣氛，又能加深學生對二元一次方程概念的理解．
練習三
課本第6頁練習1．
提出問題：二元一次方程的解是惟一的嗎？學生回答后，教師歸納：一元一次方程只有一個解，而二元一次方程有無限多解，其中一個未知數（或）每取一個值，另一個未知數（或）就有惟一的值與它相對應．
練習四
填表，使上下每對、的值滿足方程．
師生共同總結方法：已知，求，用含有的代數式表示，為；已知，求，用含有的代數式表示，為．
【教法說明】由此練習，學生能真正理解二元一次方程的解是無限多的；并且能把一個二元一次方程定成用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式，為用代入法解二元一次方程組奠定了基礎．
（2）關于二元一次方程組的教學．
上面的問題包含兩個必須同時滿足的條件，一是香蕉和蘋果共買了9千克，一是共付款33元，也就是必須同時滿足兩個方程．因此，把這兩個方程合在一起，寫成
這兩個方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組．
方程組各方程中，同一字母必須代表同一數量，才能合在一起．
練習五
已知、都是未知數，判別下列方程組是否為二元一次方程組？
①②
③④
【教法說明】練習五有助于學生理解二元一次方程組的概念，目的是避免學生對二元一次方程組形成錯誤的認識．
對于前面的問題，列二元一次方程組要比列一元一次方程容易些．根據前面解得的結果可以知道，買了香蕉3千克，蘋果6千克，即，，這里，既滿足方程①，又滿足方程②，我們說
是二元一次方程組
的解．
學生活動：嘗試總結二元一次方程組的解的概念，思考后自由發言．
教師糾正、指導后板書：
使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解．
例題判斷是不是二元一次方程組的解．
學生活動：口答例題．
此例題是本節課的重點，通過這個例題，使學生明確地認識到：二元一次方程組的解必須同時滿足兩個方程；同時，培養學生認真的計算習慣．
3．嘗試反饋，鞏固知識
練習：（1）課本第6頁第2題目的：突出本節課的重點．
（2）課本第7頁第1題目的：培養學生計算的準確性．
4．變式訓練，培養能力
練習：（1）P84．
【教法說明】使學生更深刻地理解二元一次方程組的解的概念，并為解二元一次方程組打下基礎．
（2）P8B組1．
【教法說明】為列二元一次方程組找等量關系打下基礎，培養了學生分析問題、解決問題的能力．
（四）總結、擴展
1．讓學生自由發言，了解學生這節課有什么收獲．
2．教師明確提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義，會檢驗一對數值是不是某個二元一次方程組的解．
3．中考熱點：中考中有時會出現檢驗某個坐標點是否在一次函數解析式上的問題．
八、布置作業
（一）必做題：P73．
（二）選做題：P8B組2．
（三）預習：課本第9～13頁．
本節課是北師大版教材（2014版）九年級上第二章第三節的內容，用公式法求解一元二次方程實際上是用配方法求解一元二次方程的一般化和程式化，因此教學時可以引導學生自主探索一元二次方程的求根公式。教材通過求根公式的推導加強推理技能的訓練，進一步發展學生的邏輯思維能力。通過例題教學展示了用公式法解一元二次方程的具體步驟。通過本節課的學習使學生從中體會利用它可以更為簡潔地解一元二次方程。
二、學情分析
學生在上節課已學習了用配方法解一元二次方程，通過觀察、了解及測試發現學生已經具備了用配方法解一元二次方程的經驗。在本節課中可以引導學生用配方法解一元二次方程的步驟自主探索一元二次方程的求根公式。通過例題的講解，使學生會用公式法解一元二次方程。
三、教學策略選擇與設計
1.設計理念 把課堂還給學生，讓學生用自主、合作、探究、體驗的方式去學習，使學生達到對知識的理解和掌握，形成自己的知識結構，使他們樂學、愿學、會學，以培養學生終身學習能力。
2.突破策略 復習用配方法解一元二次方程的一般步驟，根據配方法解一元二次方程的一般步驟來推導求根公式。
四、教學目標
1.理解求根公式的推導 加強推理技能的訓練，會用公式法解簡單的數字系數的一元二次方程。
2.經歷探索一元二次方程求根公式的過程 發展合情推理與演繹推理的能力。體會配方法的重要作用。體會公式法在解一元二次方程中的重要地位。
3.探索一元二次方程求根公式的過程 引導學生提出問題引發思考b2-4ac
4.培養學生學會用聯系的觀點 用舊知解新知的意識解決新的問題。提高學生學習數學的興趣。敢于發表自己的想法、提出質疑，養成獨立思考、合作交流等學習習慣。
五、教學重點及難點
重點：理解一元二次方程求根公式的推導過程及每一步的依據。用公式法熟練地解一元二次方程。
難點：經歷一元二次方程求根公式的推導過程，解的過程中的有關根式的化簡。
六、教學過程
1.溫故知新 用配方法解方程2x2-5x-3=0（學生回顧用配方法求解一元二次方程的步驟與方法，獨立解方程。一名同學板演。）
設計意圖：通過此題讓學生回憶配方法求解一元二次方程的步驟與方法。
2.自主探究
（1）你能用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）嗎？請試一試。
（2）思考：b2-4ac的符號與方程的根有什么關系？
設計意圖：通過此題引導學生用配方法自主探索一元二次方程的求根公式的推導過程。并弄清推導過程中每一步的依據。同時要求學生關注b2-4ac的符號與方程根的關系。旨在加強學生推理技能的訓練，進一步發展學生的邏輯思維能力。
3.請你歸納 （通過方程式求根，得出公式法，培養學生的歸納總結能力。略）
4.實踐應用 （解方程式鞏固方法，略）
5.強化鞏固 完成課本43頁隨堂練習
（學生自主完成，每小組出一人板演。組內自批自改。）
設計意圖：在例題的基礎上進一步強化和熟練根的判別式的應用意識，規范學生運用公式法求解一元二次方程的步驟，使學生能熟練地運用公式法正確地解簡單數字系數的一元二次方程，并用之解決實際問題。
七、教學評價設計
按小組分展示得分和回答問題得分兩項分別評價。
八、板書設計（略）
九、教學反思
本節課是在學生掌握了配方法的基礎上，再討論如何用配方法解一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，從而得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式求解一元二次方程的公式法，并引出用判別式確定一元二次方程的根的情況.總結出公式法解一元二次方程的一般步驟。
由于學生初次接觸求根公式，且形式和計算繁雜，且本人過高估計學生的能力，結果出現了以下主要錯誤：
1.a，b，c的符號問題 當方程中某項系數為負時，學生總是丟掉前面的負號;
2.代入數值后計算出錯較多 通過本節課的教學，總體感覺調動了學生的積極性，能夠充分發揮學生的主體作用，激發了學生思維的火花，具體有以下幾個特點：
（1）讓學生由淺入深，由易到難，提高了學生解決問題的能力，這是這節課中的一大亮點，在講完例題的基礎上，將更多的時間留給學生，這樣學生感覺到成功的機會增加，從而有一種積極的學習態度，同時學生在學習中相互合作交流，相互學習，共同提高。
（2）課堂上多給學生展示的機會，讓學生走上講臺，向同學們展示自己的聰明才智。
（3）通過各種激勵的教學手段，幫助學生形成積極的學習態度，課堂收效大。
【關鍵詞】一元一次方程；實際應用；教學反思
一元一次方程與實際應用是一元一次方程中的重點和難點問題，如何處理好應用問題和一元一次方程的關系關系到教學效益的提高.以下就從實踐和反思的角度來探討這一問題.
一、一元一次方程與實際應用案例分析
1.問題導入，激發興趣
在教授一元一次方程與實際應用時，筆者是以問題導入的：在一次有12支球隊參加的足球循環賽中（每兩隊必須賽一場），規定勝一場3分，平一場1分，負一場0分，某隊在這次循環賽中所勝場數比所負的場數多兩場，結果得18分，那么該隊勝了幾場？
首先，這個問題相對于初一的學生來說不是太難，拿此問題導入不僅可以激發學生興趣，還能開發學生的抽象思維.其次，本問題以學生的實際生活為背景，教師在導入時創設教育情境，可以讓學生主動地從生活中挖掘、體會數學的內涵和意義，從而使學生更好地感受到數學與自己的生活息息相關，真正感受數學的社會價值.最后，以問題導入讓學生主動去思考問題可以啟發學生主動建構.這是一個激發學生智慧的過程，從而讓學生感受到數學所帶來的快樂，以學習一元一次方程的數學知識為載體，在學生以后的學習中能起到潛移默化的教育作用，在教學中教師不能小覷.
2.聯系實際，引導探究
問題已經導入，接下來就是引導學生走進實際生活，探究問題了，在這里筆者選取了課本中的例子（本例貼合實際，不易變動）.
男生都喜歡看CBA，激烈的對抗中比分交替上升，最終由積分顯示牌上的各隊積分進行排位.下面我們來看一個2000賽季國內籃球甲A聯賽常規賽的最終積分榜：
隊名場次勝場負場積分上海東方2218440北京首鋼2214836遼寧盼盼22121034前衛奧神 22111133江蘇南鋼22101232浙江萬馬2271529雙星濟軍2261628沈部雄師2202222
問題一：要解決問題時，必須求出勝一場積幾分，負一場積幾分，你能從積分表中得到負一場積幾分嗎？
問題二：你能不能列一個式子來表示積分與勝、負場數之間的數量關系？
問題三：某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？
問題四：想一想，x表示什么量？它可以是分數嗎？由此你能得出什么結論？
問題五：如果刪去積分榜的最后一行，你還會求出勝一場積幾分，負一場積幾分嗎？
本例題，通過五個小問題將整個大問題一步步進行分解.問題一中，是讓學生通過看表得出規律的，經分析學生們就能發現其中奧秘：負一場積1分.如果設勝一場積x分，從表中其他任何一行可以列方程，便可求出x的值.例如，從第一行得方程：18x+1×4=40.問題二中，是引導學生列出和實際問題相關的一元一次方程，根據勝、負關系學生就可輕松地解決這一問題：如果一個隊勝m場，則負（22-m）場，勝場積分為2m，負場積分為22-m，總積分為2m+（22-m）=m+22.問題三中，依然是引導學生列出和此實際問題相關的一元一次方程，此處題解就不贅述了.問題四中，就是讓學生把實際問題和數學知識結合起來，通過分析解決實際問題時，引導學生要考慮得到的結果是不是符合實際.x（所勝的場數）的值必須是整數，所以x=22÷3不符合實際，由此可以判定沒有哪個隊的勝場總積分等于負場總積分.此環節的設計讓學生的數學意識再一次深化了.問題五中，是為了鞏固學生列出和實際問題相關的一元一次方程的能力，通過上述四個小問題的鋪墊，學生便能一步一個腳印地完成這一問題.
二、關于一元一次方程與實際應用的教學反思
1.一處亮點
本次教學是筆者曾經執教過的一堂課，本次課教學目標明確，雖然一節課知識講了一個知識點，但是它是基于學情的，從課堂學生的表現和反應來看，大部分學生都能在第三環節中作出兩道數學題，只有少部分學生不知所措.
2.兩處遺憾
第一處遺憾：本次教學著重是解決一元一次方程與實際應用的問題，但是本課節選的此問題和學生的生活實際稍遠，尤其是女生，不如再細化一下更好.第二處遺憾：讓學生進行討論和交流實際問題、列出方程，才能讓學生進行充分的學習，但是本次課，筆者主要偏重的是講授，只有在第三環節才發揮了學生的主體參與性.因此，教師在實際問題的基礎上要引導學生發揮作用，最終，通過一元一次方程知識的學習讓學生接受數學文化的熏陶.
【參考文獻】
[1]教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京師范大學出版社，2001.
