時間：2022-10-16 11:54:11
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2.能用字母和代數式表示以前學過的運算律和計算公式。
3.經歷探索規律并用代數式表示規律的過程。
教學重點：用字母表示數的意義。
教學難點：在現實情境中進一步理解用字母表示數的意義，能分析簡單問題的數量關系，并用代數式表示；建立符號感。
教學過程
一 創設情境 引入新課
兒歌導入 出示課題
師：我們先來唱一首兒歌好嗎？
生：好！
師：我先唱一句――
一只青蛙一張嘴，二只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水。你們會唱嗎?
生：會。
師：那好，我們一起唱。
生：二只青蛙二張嘴，四只眼睛八條腿，撲通二聲跳下水;
三只青蛙三張嘴，六只眼睛十二條腿,撲通三聲跳下水;
四只青蛙四張嘴，八只眼睛十六條腿,撲通四聲跳下水;
師:停一下。
問:那5只青蛙呢？（學生回答，教師作評并將答案填入表格中）
問：那10只青蛙呢？（學生回答，教師作評并將答案填入表格中）
■
師：大家說這首兒歌唱得完嗎?
生：唱不完。
師：為什么
生：因為青蛙有無數個。
師：你能用數學知識,一句話把這首兒歌唱完嗎?
（各學習小組交流合作，探討結論）
師：請問這里n是什么?它表示的又是什么?
生：n是字母,它表示的是青蛙的個數.
師：今天這節課我們就來學習“用字母表示數”(板書課題)
二 交流對話，探索新知
字母還可以表示哪些數呢？學生小組討論交流，然后由代表發言。學生會合自己的生活經驗得出字母可以表示正整數，比如剛才討論的金錢數量，也可以表示負數，比如溫度是零下3度，可以表示小數或者零，比如去超市買東西時，那些價格有些是小數，不買則花零元錢。由學生自由發言討論，然后由學生總結，得出字母可以表示任何數。
老師不失時機指出實際上字母不但可以表示任何數還可以表示運算律或者圖形的面積或者周長，體積等等。
如乘法交換律是：ab=ba加法交換律：a+b=b+a分配律：a(b+c)=ab+ac
如果用m,n表示矩形的長和寬，則矩形的周長為2(m+n),面積為mn等。
三指導應用，鞏固提高
（1）練習簿的單價為x元，怎樣表示100本練習簿的總價？
根據總價=單價數量，學生很容易得出。
變式（變一變）：若100本練習簿的總價為x元，則練習簿的單價為多少元？
說明：字母x可表示單價也可表示總價，需視實際情況而定；
（2）父親的年齡比兒子大28歲，如果用a表示兒子現在的年齡，那么父親現在的年齡為 歲。
（3）設每一條小紅魚m元，共n條這樣的小紅魚需多少元呢？
師生一起總結，然后給出書寫時應該注意的事項：
1）表示數的字母相乘，或字母和字母相乘時，乘號可以省略不寫，或用“.”來代替，數和字母相乘，在省略乘號時，要把數字寫在字母的前面，如n×2應寫成2n，不能寫成n2，特別注意：1乘以字母時，1可以省略不寫，如1×a可寫成a;-1乘以字母時，只要在那個字母前加上“-”號，-1×a可寫成-a;帶分數與字母相乘時，帶分數要寫成假分數的形式。
2）含有字母的式子表示某種量時，列式時可不寫單位名稱，在答時寫上單位名稱，若結果是乘除關系，單位名稱寫在后面，如mn元；而結果是加、減關系，必須把式子用括號括起來后再寫單位名稱，如：（2x+1.5y）元。
（4）課內練習1、2、3，尤其需指出的是練習3要求第一個可以用表示結果的實際問題，此題屬于條件開放題，應組織學生分組討論、合作交流，適時培養學生協作精神、交往能力、表達能力、發展。
四 課堂小結，反思提高
1、本堂課你有什么收獲？
一、以專業的視角作剖析，偏差較大
無論在校際教研課，還是去參加省（市）以及全國級的觀摩課，我們不難發現，所有“用字母表示數”的課的內容和結構大同小異，唯有對意義與理解水平的把握偏差較大。請看以下兩個案例。
案例（一）：意義引入時有畫蛇添足、舍近求遠之勢頭
其一，上課伊始，教師隨即拋出了以下習題。
第一幅圖的字母表示_____________。
第二幅圖的字母表示_____________。
第三幅圖的字母表示_____________。
其二，很多教師在課的最后引入一首熟悉的兒歌，出示“數青蛙”：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……大多數學生對第一句沒有異議，對第二句有的說是“2ɑ只眼睛”，有的說是“ɑ2條腿”……
點評：對其一，我認為，課堂教學由熱烈的討論轉變為激烈的爭論，可以說是眾說紛紜，時間花去了近10分鐘，表面上熱熱鬧鬧好像與生活接軌，實際上與“用字母表示數”全然無關。大家都知道，CCTV是中國中央電視臺的英文縮寫，車牌“浙A”表示浙江杭州地區，只有撲克牌中的J可以表示自然數中的11（勉強可以，撲克牌J其實也是英文JACK的縮寫），案例中教師真可謂在教材的處理上有畫蛇添足之勢頭。對其二，我認為多數教師為了追求時尚和新意，丟開了數學課本本質的東西，在長方形和正方形周長公式中不就有2ɑ+2b與4ɑ這樣的教學內容嗎？但教師總不愿意采用，寧可舍近求遠，效果卻適得其反。
案例（二）：理解層次有要求整齊劃一、生搬硬套之感覺
在理解應用時，教師安排了“猜老師和同學的年齡”這個環節。
師（板書“ɑ”）：猜一猜，ɑ是老師的年齡，還是同學的年齡？（全班學生鴉雀無聲）
師（板書“ɑ+20”）：請同學們猜猜ɑ表示什么？ɑ+20表示什么？
生1：ɑ表示我們的年齡，ɑ+20表示老師的年齡。
生2：ɑ也可以表示老師的年齡，那么我們的年齡是ɑ-20。
點評：教師全然不顧這部分“另有想法”的學生和不同理解水平的學生，對學生只作整齊劃一的講解，使部分學生特不服氣。因此，這個環節給我一種要求整齊劃一、生搬硬套的感覺。
二、 用專家的觀點細解讀，內涵豐富
1.用“用字母表示數”的意義解讀。
“用字母表示數”屬于概念性知識，從數學發展史的視角來看，它的教學無疑要關注以下三點：一是要尋找承載“用字母表示數”的本質意義并使意義有直觀認識的教學模型；二是引發學生對數量間的關系進行抽象概括的情感需求；三是應該順應學生的認識規律，即抽象認識源于直觀模型的心理程序。結合我的教學經驗，在教學實踐中，我對“用字母表示數”的意義歸納為以下四點：其一，把字母當作一個特定且未知的數；其二，字母可以代表幾個數或一批數；其三，可以把字母當作變量；其四，還可以用字母表示數量關系。
2.對“用字母表示數”的理解水平的解讀。
長期的教學實踐和經驗告訴我們，學生的理解水平不是由教師的教學期望所決定，而是由學生的數學現實、認知能力和數學學科的本質所決定的。我認為根據學生對字母表示數意義的理解程度，可把理解水平劃分為四級：第一級水平——了解，對字母表示數的意義達到感性的、初步的認識；第二級水平——理解，對字母表示數的意義達到理性的、能比較差異的層次；第三級水平——掌握，對字母表示數的意義在理解的基礎上達到能舉例、能解決一般問題的技能；第四級水平——靈活運用，對字母表示數的意義能綜合其他知識靈活運用，且形成能力。
三、 依專題的研討來實踐，“研”有方向
數學教育經驗告訴我們，概念教學要堅持三性：一是數學性；二是自然性；三是知識形成方法的可重復性。遵照以上三性，遵循學生的心理認知發展規律，我在“用字母表示數”的教學設計中，把教學內容與課堂教學結構相匹配，以經典的事例改編教材的主要內容。在設計教案時，我既利用人教版教材中的特點，也吸取北師大等版本教材中的優點，收到了較好的效果。
板塊（一）：實例導入——探究規律，初步體驗意義
1.想象用小棒擺正三角形，尋找三角形個數與小棒根數之間的聯系。
（1） 出示一根小棒，想象用同樣的小棒如何擺一個三角形。
（2） 依次回答擺1個、2個、3個、4個、5個三角形需要小棒的數量。
（3） 尋找三角形個數與小棒根數之間的規律。
2.嘗試用簡明、概括的方法在一個括號里分別表示所有的三角形個數與小棒根數，通過信息反饋，得出用字母表示是一種相對簡明、概括的方法。
（1） 教師給學生每人發一張如下的小紙條。
師：嘗試用一種既相對簡明又非常概括的方法把所有三角形的個數都寫出來，同樣用這種方法把相應的所有小棒根數也表示出來，而且還讓人知道它們之間的關系（3倍）。拿出一張小紙條，怎么想就怎么寫。（學生信息反饋環節略）
（2） 引出課題，體驗用字母表示數的優點。
師：通過簡短的分析，我們找到了一種新的方法，是什么？（用字母表示數）其實，這就是今天這節課我們重點來研究的內容。（板書課題：用字母表示數）
師：再回頭看這種方法，一旦我們知道了三角形的個數，根據這種表達方式，我們能不能很快確定小棒的根數？22個、1000個三角形呢？
師：你覺得你們找到的這種方法好不好，好在哪里？
設計意圖：課堂導入通過找數的規律，讓學生嘗試簡明、概括地表示數，并對思路進行分析，使學生在不知不覺中自覺地用字母來表示數，初步體驗用字母表示數的意義與作用。
板塊（二）：本質學習——應用范例，理解實際意義
1．猜猜年齡。
（1）猜父女年齡。
（2）出示下面兩個式子猜師生年齡：ɑ+20，ɑ-20。（學生分小組討論）
2．猜正方形的周長公式。
師（貼一個正方形，板書“C=ɑ×4”）：猜一猜，這個式子里的字母分別表示正方形的什么？
師：憑你的經驗，ɑ在這表示任意一個正方形的邊長時可以是哪些數？（任何數）
師：你看，同樣一個ɑ在表示年齡的時候與表示正方形邊長的時候，表示數的范圍一樣嗎？
設計意圖：這個環節我們安排了兩個猜測，一是猜年齡，讓學生明白字母在不同的情境下，表示數的范圍是不一樣的。另一個猜測是與導入互為辯證的過程，導入是從數到字母，這里是先有字母式子，反過來讓學生用具體的數來解釋字母式子表示的意義。我們想通過這種方式去不斷詮釋“用字母表示數”這個概念的內涵。
板塊（三）：反饋訓練——開放練習，詮釋概念內涵
1．開放性練習，根據ɑ×4與書本圖片說明ɑ×4表示的意義。
（出示ɑ×4，再出示4本書的圖片，如下圖）
師：ɑ×4只能表示正方形的周長嗎？誰能說清楚這里的ɑ表示什么？ɑ×4又表示什么？
2.兒歌。
（1）出示（數青蛙）：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……
（2）學生一邊拍手，一邊唱。
（3）理清青蛙的眼睛與只數、腿與只數的關系。
（4）照這樣唱，唱得完嗎？學習這一課后，你能用簡明、概括的方法，用一句話把它唱完嗎？
出示：（ ）只青蛙（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。
（5）學生信息反饋。（略）
設計意圖：在這個環節中，我安排了三個練習。首先讓學生開放性地說一說ɑ×4的意義，突出字母作為一種符號的意義，它不代表一種具體的數量。然后再從這里引出“用字母表示數”的歷史，把數學史的介紹安排在具體的情景中，讓學生再次體會用字母表示數的發展史。最后，兒歌的規律用字母表示是有一定難度的，但是從學生的反饋來看，大部分學生已經能用正確的方法來表示。
板塊（四）：互動總結——自我反思，提升理解水平
1.組織學生學習以下改編后的兒歌。
1張課桌1個面，2人可坐有4條腿；2張課桌2個面，4人可坐有8條腿；3張課桌3個面，6人可坐有12條腿……
2．教師提問。
（1）我們全班有42個學生，你能立即算出有幾張課桌、幾個桌面和幾條桌腿嗎？
生：有21張課桌21個面，42人可坐有84條腿。
（2）全校有ɑ個同學，要多少張課桌，有幾條腿？
生：ɑ÷2。
……
設計意圖：本環節旨在讓學生親歷事例，感悟意義，提升理解層次。本教案的設計和實施依據學生已有的生活經驗，對“用字母表示數”意義與理解水平已有一種潛在的直觀認識和理解。因此，在課的最后把教室的桌、人等作為終極目標，從實際生活場景中提煉出數學問題，使學生的學習進入一目了然的自然狀態，感悟到實在的意義。
以上教案和實施的全過程可以概括為兩條線：一是明線，具體問題數學概念強化應用小結反思；二是暗線，自我領悟抽象領會抽象領悟形成概念。
四、按專門的理論鑒效果，收獲豐厚
1．理論依據。
對于這個問題，英國CSMS研究小組進行了卓有成效的研究，他們撰寫的《孩子們的數學理解（11—16歲）》一書中的第八章就“用字母表示數”的理解水平的研究成果進行了闡述。他們主要選取了兩個標準作為測驗孩子理解水平的內容，這兩個標準是字母賦予的意義與題目結構的復雜性，并根據結構的復雜性和量的性質把題目劃分為四種理解水平，同時得到了印證。
2．實踐意義。
“用字母表示數”是小學生系統學習代數知識的第一課，且是代數知識中最基礎、最重要的概念之一。我們知道，代數中的字母可以賦予許多不同的意義，因此，學生對“用字母表示數”意義的理解就有不同的層次和水平。這種層次和水平的高低對學生后續學習數學與進一步發展創造具有不可低估的作用。
3．具體效果。
經過對重組后的教材進行試教（最后一次試教的課堂實錄），學生在以下方面有了提高。
（1）充分地體驗“用字母表示數”的優點。
先前教學中，按照人教版教材的編排，以教學用字母表示特定的數、定律、公式為主要內容，內容簡單、枯燥，學生學習沒有激情。這次教學從用字母表示數量關系入手，讓學生自主探究，主動用字母表示數量關系中的變量，體會字母表示數的抽象性、概括性，并回顧用字母表示定律、公式的過程，體驗字母表示數的簡明性、易記性。在最后環節，大部分學生都能用字母正確地表示出青蛙只數與嘴、眼睛、腿之間的關系，說明學生已經比較好地掌握了用字母表示數量關系的知識。
（2）有效地激發了學生的學習興趣。
先前教學中，我通過乘法交換律引出字母與字母之間的乘號可以省略，再通過正方形的周長和面積公式引出字母與數字相乘時的書寫規則和平方數的意義、讀寫法，按部就班，一環接一環，整整花了半節課的時間講清其中的要點。這一次，從找小棒與三角形之間的規律入手，嘗試用不同方法表示它們的關系，讓學生在不自覺中運用字母來表示數。接著通過兩個猜謎的游戲來詮釋字母表示數的內涵，開放性地解釋ɑ×4表示的意義，自然地進行用字母表示數的歷史意義的滲透，最后通過一首兒歌來加以提升。這些環節層層銜接，生動有趣，極大地激發了學生學習的興趣。
（3）成功地培養了學生良好的學習行為和習慣。
課堂教學研究了學情，分析和掌握了學情，不僅使學生學會了知識基礎，而且使學生的態度、習慣和能力得到了提升。其實，這在平時作業、學生訪談、課前測試、調查等都能適時應用。如圖形知識中要了解學生的動手能力，概念性知識要知道學生的生活經驗，簡便計算中要了解學生對數的感覺情況等等。
教學片斷一：
教學“用字母表示數”一課時，教師在學生介紹完自己的年齡后，自然而然切入正題。
師：猜猜老師今年多少歲？
學生猜測。（略）
師：告訴大家，我的年齡比小浩（班上的數學課代表，今年10歲）大15歲?，F在知道老師有多大了嗎？
生：25歲。
師：你是怎么知道的？
生：小浩10歲，你比他大15歲，10+15=25歲。
師：小浩12歲時，老師多少歲？
生：27歲。
師：如果用a表示小浩的年齡，老師的年齡怎樣表示？
生：a+15。
師：a和a+15分別表示什么？為什么可以用a+15表示老師的年齡呢？
生：（略）
師：你能用其他字母表示小浩的年齡，同時再表示老師的年齡嗎？
學生提出還可以用字母c、h、x等來表示小浩的年齡，并用c+15、h+15、x+15等來表示老師的年齡。
師：如果你用一個喜歡的字母表示自己的年齡，又怎樣表示你父母的年齡？
學生也提出不同的表示形式，如用y表示自己的年齡，y+24表示媽媽的年齡等。
師：看來用字母表示年齡的方式有很多，大家可以選擇你喜歡的方式來表述。
評析：上例中的教師讓學生用“喜歡的方式”表示年齡，充分尊重學生的想法，鼓勵學生個性化的思維，教學活動生動活潑，有利于學生初步體會用字母表示數的含義?？煽v觀學生的學習過程，學生的思維廣度和深度不夠，思維含量并不高，教師問題的設計順應了學生思維的惰性。教學中雖然涉及到了不同字母等抽象符號，但學生對用符號表示年齡的抽象含義并不清楚，仍然停留在形象思維層次上，教學并沒有使學生的概括水平得到提升，缺乏對用字母表示數所具有的簡明易記特點的感悟。學生在解決問題、數學思考等方面都沒有得到很好的培養與鍛煉，學生自主探索學習習慣也沒有得到培養。
教學片斷二：
師：現在咱們一塊兒做一個動腦筋的游戲。
教師請小明同學到講臺前，和他說了一陣悄悄話。
小明在黑板上寫了一個a,問大家：“這是我的年齡還是老師的年齡？”
生：誰都行。
教師在a的后面補充成a+27。
師：這是我的年齡還是小明的年齡？
生1：也是都有可能的。
生2：a是整數，不可能是小明的年齡。
生3：這是老師的年齡，因為老師看上去比27歲大。（學生笑）
師：結合實際來想，這是我的年齡，那a和27表示什么？算式表示什么？
生：27表示老師和同學年齡差，a表示小明的年齡，a+27表示的是老師的年齡。
師：看到這個算式你有什么聯想？比如他1歲時我多大了？
生1：他1歲時，老師就28歲。
生2：我今年9歲，老師今年36歲。
師：你能不能用一個含有字母的式子表示小明的年齡？
生：n-27=a，n表示老師的年齡，27代表他們兩人的年齡差，n-27表示小明的年齡。
師：用字母來表示有么好處？
生1：比較簡潔。
生2：有時字母能表示一個數，有時可以表示很多數。
評析：波利亞說：“數學教師的首要責任是盡其一切可能來發展學生解決問題的能力?！辈浑y看出，教學片斷二中的教師拿到的參考資料或參考教案與教學片斷一中教師拿到的相仿，但不同的是第二個教師認真地進行了第二次備課，把教材上的知識點進行了整合，對教材文本進行了二度開發，給學生創設了極具探究性的問題情境，體現了教師自己的教學風格與個性。學生在極富挑戰性的問題情境下，主動地體驗，而認識恰恰就在這樣的過程中不斷地生成、不斷地發展。正所謂：“給學生一杯水，不如讓學生自己尋找一滴水。”數學知識可以傳遞，但數學眼光卻無法傳遞。
反思：布魯納指出：“探索是數學的生命線?！鄙厦鎯蓚€教學片斷中，學生的感悟與體驗的區別就在于是否讓課堂成為學生“做數學”的天地。因此，我們應在比較中反思我們的課堂。
培養學生的科學精神和創新思維能力,是數學教學的重要任務。筆者對各年級數學的測驗成績進行了分析研究,可以看出初一以上各年級均有五分之三的學生數學成績不及格,并且帶有普遍性。在進行一些內容的教學時,學生對新授數學內容倍感困難,不易接受和運用,以往學習中的薄弱環節明顯地暴露出來。教師也因多種因素感到教材難以處理,教學效果難以提高。
其原因分析,有如下二個方面:
1.在中學階段數學中,“用字母表示數”是算術與數學的銜接點也是分化點。學生對“字母表示數”的理解和認識,還停留在原有的水平上。從學生心理上看,踏入中學大門的學生年齡大都在13歲左右,正處在從機械記憶向理解記憶轉化,從具體思維向抽象思維轉化時期,而大多數學生對這兩個轉化開始時是不適應的?！坝米帜副硎緮怠笔菙祵W符號的進一步抽象,也可以說,是學生升入中學后遇到的抽象思維的第一關,是他們認識上的一大飛躍,若沒有教師的正確引導,這一關是不容易過好的。
2.受小學算術的內容和方法的束縛,不易接受中學代數和幾何的內容和方法。例如,在數的概念方面,習慣于在非負有理數集上研究問題,對在實數集上研究問題不易接受;在運算種類上,習慣于加減乘除運算,對乘方、開方、指數等不易接受,習慣于用數字表示的數及其運算,對用字母表示數、代數式及運算和函數及其研究不易接受;在解代數應用題時,不習慣運用列方程或不等式的方法,在解幾何應用題時,不習慣運用有關概念、公理、定理進行論匪,習慣于研究單項值的情況等。
針對上述兩方面情況,從四個方面入手:
1.安排一定時間讓教師對學生的小學算術學習進行查漏補缺,抓住薄弱環節認真復習鞏固和提高,而且貫穿于中學階段數學教學全過程,始終引導學生去比較算術與代數、幾何在內容和方法上的異同,從而適應中學數學學習。
2.與其它學期(年)相比,初一(上)、高一(上)代數含強分化點的課時占學期總課時數的百分比值較高,因此防止中學數學教學的分化現象,并針對學生藏文偏科情況,增加理科教學時間,從初一、高一入學時緊緊抓住不放松。
滲透初中數學中蘊涵了豐富的數學思想、方法的內容。如字母表示數的思想，數形結合的思想、函數思想、統計思想、分類思想（包括等價轉化思想與化歸思想）、等量思想、不等量思想等大量數學思想。數學方法有理論形成的方法、觀察法、實驗法、類比法、一般化方法和抽象化方法；解決具體數學問題的方法有代入法、消元法、降次法、配方法、待定系數法、分析法、綜合法、坐標法、變換法等。數學知識、思想、方法、技能密不可分，相互聯系，相互依存，協同發展，只要在課堂教學法中認真把握，把它們融于一體、就能使學生在學習過程中潛移默化，不知不覺地獲得這些思想方法。下面是自己在教學中的一些做法和體會。
一、鉆研教材，充分挖掘教材中蘊涵的數學思想方法。
新教材的彈性很大，其選擇的材料是精心組織、合理安排的，表達了一定的思想、方法和目的，但是教師怎樣設計數學情景？學生應形成怎樣的數學思想和方法，教材只做了簡短的說明。但是基本的數學思想、方法確如靈魂一樣支配著整個教材。因此，教師在教學過程中一定要研究大綱，吃透教材，把教材中蘊涵的數學思想、方法精心設計到教案中去。例如初一代數第一冊（上）的核心是字母表示數，正是因為有了字母表示數，我們才能總結一般公式和用字母表示定律，才形成了代數學科，這冊教材以字母表示數為主線貫穿始終，列代數式是用字母表示已知數，列方程是用字母表示未知數，同時本章通過求代數式的值滲透了對應的思想，用數軸把數和形緊密聯系起來，通過數形結合來鞏固具有相反意義的量的概念、了解相反數及絕對值、研究有理數加、減法和乘法的意義等，通過有理數、整式概念的教學，滲透了分類思想，教師只有這樣去把握教材的思想體系，才能在教學中合理地滲透數學思想和方法。
二、注重在知識介紹與展示過程中滲透數學思想和方法。
概念、公式、法則、性質、定理等數學結論的導出過程，不是簡單的再現，教師要創設一定的問題情景，提供豐富的感知材料，使學生的思維經歷數學結論的發生、發展、形成的全過程，并在這一過程中通過嘗試、觀察、猜想、歸納、概括、類比、假設、檢驗等自我接受數學思想、方法的滲透。教師要抓住各種時機，引導學生透過問題表面理解問題本質，總結出教學思想方法上的一些規律性的內容。如：學習整式的加、減、乘、除運算時，用數的運算性質去探索式的同類運算也具有這樣的性質，實現數——式的轉化，也是由特殊到一般，由具體到抽象的關系。
三、點滴孕伏，不斷再現，逐漸強化。
數學思想、方法不可能經歷一次就能正確認識并遷移，需要在長期的教學中，點點滴滴地孕伏，斷斷續續的再現，若隱若明的引導，日積月累的強化，使學生達到掌握的程度。 例如學習因式分解時可給下列題組：（1） －11x＋24 （2） －11 ＋24 （3） －11（x＋y）＋24 （4）（ ＋2x）2－11（ +2x）+24 （5）（ +2x－3）（ +2x－8）+36 （6）（x－1）（x－2）（x＋3）（x＋4）－36由（1）題過渡到（2）（3）（4）滲透了換元的思想，（5）（6）滲透了化歸思想。通過解一元二次方程、一次方程組、分式方程和無理方程，使學生的轉化認識、消元降次、化歸的思想方法日趨成熟。再如對一元一次方程和一元一次不等式的解法進行類比，使學生了解它們的聯系與區別，讓學生學會了用類比思想解決問題的方法，在初二學分式及其運算時，學生運用類比的思想由分數的性質和運算可以自主展開對分式的研究。
四、把基本數學思想、方法、知識、技能融于一體。
教師在課堂中要把基本的數學思想、方法與知識、技能融于一體，使學生在學習知識、技能的同時，也悟到一定的數學思想方法，在運用思想方法的同時，也鞏固了知識、技能。這樣，思想方法有載體，知識、技能有靈魂，才能真正提高學生的數學素養。例如證明勾股定理或乘法公式時，經常由圖形面積的等積變形來實現，這是把數量關系問題轉化為圖形問題來解決的典型例子。與此相反，證明兩直線垂直時，可通過勾股定理的逆定理來證明或由角的數量關系來證明，這是把圖形關系問題轉化為數量關系問題的典型例子。通過這兩種轉化方法的不斷訓練，學生才能不斷體會到數形結合的精妙之處，才能把數學思想、方法、知識、技能融于一體，才能真正領悟數形結合的思想方法。
五、有計劃、有目的、有組織地上好思想方法訓練課。
小結課、復習課是系統知識，深化知識，使知識內化的最佳課型，也是滲透數學思想方法的最佳時機，通過對所學知識系統整理，挖掘提煉解題指導思想，歸納總結上升到思想方法的高度，掌握本質，揭示規律。初中數學中有許多體現“分類討論”思想的知識和技能。如：1、實數的分類；2、按角的大小和邊的關系對三角形進行分類；3、求任意實數的絕對值分大于零、等于零、小于零三種情況討論；4、把兩個三角形的形狀、大小關系揭示得較為清楚的方法，是把兩個三角形分為相似與不相似兩大類；…，所有這些，充分體現了分類討論的思想方法，有利于學生認識物質世界事物之間的聯系與區別。
六、運用多媒體手段使數學思想方法形象化。
對于初中學生朋友，學習是一個循序漸進的過程，需要日積月累。接下來是小編為大家整理的 初一數學《從算式到方程》教案集錦，但愿對你有借鑒作用!
初一數學《從算式到方程》教案范文一
教學目標
1.知識與技能
(1)通過觀察，歸納一元一次方程的概念.
(2)根據方程解的概念，會估算出簡單的一元一次方程的解.
2.過程與方法.
通過對多種實際問題的分析，感受方程作為刻畫現實世界有效模型的意義.
3.情感態度與價值觀
鼓勵學生進行觀察思考，發展合作交流的意識和能力.
重、難點與關鍵
1.重點：了解一元一次方程的有關概念，會根據已知條件，設未知數，列出簡單的一元一次方程，并會估計方程的解.
2.難點：找出問題中的相等關系，列出一元一次方程以及估計方程的解.
3.關鍵：找出能表示實際問題的相等關系.
教具準備：投影儀.
教學過程
一、復習提問
在小學里，我們已學習了像2x=50，3x+1=4等簡單方程，那么什么叫方程呢?什么叫方程的解和解方程呢?
答：含有未知數的等式叫方程;能使方程等號兩邊相等的未知數的值叫方程的解，求方程解的過程叫解方程.
方程是應用廣泛的數學工具，把問題中未知數與已知數的聯系用等式形式表示出來.在研究問題時，要分析數量關系，用字母表示未知數，列出方程，然后求出未知數.
怎樣根據問題中的數量關系列出方程?怎樣解方程?這是本章研究的問題.
通過本章中豐富多彩的問題，你將進一步感受到方程的作用，并學習利用一地一次方 程解決問題的方法.
二、新授
1.怎樣列方程?
讓學生觀察章前圖表，根據圖表中給出的信息，回答以下問題.
(1)根據圖中的汽車勻速行駛途經王家莊、青山、秀水三地的時間表，你知道，汽車從王家莊行駛到青山用了多少時間?青山到秀水呢?
(2)青山與翠湖、秀水到翠湖的距離分別是多少?
(3)本問題要求什么?
(4)你會用算術方法解決這個實際問題呢?不妨試試列算式.
(5)如果設王家莊到翠湖的路程為x(千米)，你能列出方程嗎?
解：(1)汽車從王 家莊行駛到青山用了3小時，青山到秀水用了2小時.
(2)青山與翠湖的距離為50 千米，秀水與翠湖的距離為70千米.
(3)王家莊到翠湖的距離是多少千米?
(4)分析：要求王家莊到翠湖的距離，只要求出王家莊到青山的距離，而王家莊到青山的時間為3小時，所以必需求汽車的速度.
如何求汽車的速度呢?
這里青山到秀水的時間為2小時，路程為(50+70)千米，因此可求的汽車的平均速度為(50+70)÷2=60(千米/時)
王家莊到青山的路程為：60×3=180(千米)
所以王家莊到翠湖的路程為：180+50=230(千米)
列綜合算式為： ×3+50
(5)分析：先畫出示意圖，示意圖往往有助于分析問題.
從上圖中可以用含x的式子表示關于路程的數量：
王家莊距青山(x-50)千米，王家莊距秀水(x+70)千米.
從章前圖表中可以得出關于時間的數量：
從王家莊到青山行車3小時，從王家莊到秀水行車5小時.
由路程數量和行車時間的數量，可以得到行車速度的表達式.
汽車從王家莊開往青山時的速度為 千米/時，汽車從王家莊開往秀水的速度為 千米/時.
要列出方程，必需找出“相等關系”，題目中還有哪些相等關系嗎?
根據汽車是勻速行駛的，可知各段路程的車速相等.
于是列出方程：
=
以后我們將學習如何解這個方程，求出未知數x的值，從而得出王家莊到翠湖的路程.
思考：對于以上的問題，你還能列出其他方程嗎?如果能，你依據的是哪個相等關系?
根據汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等.
所以還可以列方程：
= 或 =
(前者是汽車從王家莊到青山與從青山到秀水，這兩段路程的車速相等，后者是汽車從王家莊到翠湖與從青山到秀水，這兩段路程的車速相等)
比較用算術方法和列方程方法解應用題，用算術方法解題時，列出的算式表示用算術方法解題的計算過程，其中只能用已知數，對于較復雜的問題，列算式比較困難;而方程是根據問題中的等量關系列出的等式，其中既含有已知數，又含有用字母表示的未知數，有了這個未知數，問題中的已知量與未知量之間的關系就很容易用含有這個未知數的式子表示，再根據“相等關系”列出方程.
有了方程后人們解決許多問題就更方便了，通過今后的學習，你會逐步認識：從算式到方程是數學的進步.
列方程時，要先設字母表示未知數，通常用x、y、z等字母表示未知數，然后根據問題中的相等關系，寫出含有未知數的等式即方程.
例1：根據下列問題，設未知數并列出方程.
(1)用一根長24cm的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長是多少?
分析：設正方形的邊長為x(cm)，那么周長為4x(cm)，依題意，得4x=24.
初一數學《從算式到方程》教案范文二
教學目標：
1.通過處理實際問題，讓學生體驗從算術方法到代數方法是一種進步.
2.初步學會如何尋找問題中的相等關系，列出方程，了解方程的概念.
3.培養學生獲取信息、分析問題、處理問題的能力.
教學重難點： 從實際問題中尋找相等關系.
教學過程：
一、情境引入
提出課本P78的問題，可用多媒體演示題目描述的行駛情境.
1.理解題意：客車比卡車早1小時經過B地，從這句話中可知客車、卡車行駛的路程和時間分別有什么關系?
2.能否列算式求出A、B兩地之間的路程，要求能夠解釋列出的算式表示的實際意義.
3.提出問題，如果用字母x表示A、B兩地的路程，根據題意會得到一個什么樣的式子?
二、學習新知
1.引導學生把題中的數量用表格形式反映題意：
路程(km) 速度(km/h) 時間(h) 卡車 x 60 客車 x 70
2.學生回顧方程的概念，探討、列出方程，并說出列得方程的依據.
3.討論列出方程表示的意義，并對比算術方法，體會列方程解決問題與列算式解決問題的優越性.
4.反思：這個問題中除了A、B兩地的路程是一個未知量，還有沒有其它的量是未知的?如果還有其它的量是未知的，能否用字母(或未知數y)表示這個未知量，列出與前面不同的方程呢?學生分組討論.
5.將題中的已知量和未知量用表格列出：
路程(km) 速度(km/h) 時間(h) 卡車 60 y 客車 70 y-1
6.探討：①列出關于y的方程;②解釋這個方程表示的實際意義(或列出這個方程的依據);③如何求題目問題：A、B之間的路程.
7.總結以上列出兩個含不同未知數x、y的方程的方法：①以路程為未知數，則根據兩車行駛時間的關系列方程.②以行駛時間為未知數，則從兩車行駛路程的關系列方程.
8.比較列算式和列方程兩種方法的特點：閱讀課本P79.
9.舉一反三：分別列算式和設未知數列方程解決下列問題：
(1)某數與它的的和是8，求這個數;
(2)班上有女生32人，比男生多，求男生人數;
(3)公園購回一批風景樹，其中桂花樹占總數的，樟樹比桂花樹的棵數多，杉樹比前兩種樹木的棵數和還多12棵，求這批樹木總共多少棵?
三、初步應用
1.例1：課本P79例1.
例2(補充)：根據下列條件，列出關于x的方程：
(1)x與18的和等于54;
(2)27與x的差的一半等于x的4倍.
列出方程后教師說明：“4x”表示4與x的積，當乘數中有字母時，通常省略乘號“×”，并把數字乘數寫在字母乘數的前面.
2.練習(補充)
(1)列式表示：
① 比a小9的數; ?、?x的2倍與3的和;
③ 5與y的差的一半; ④ a與b的7倍的和.
(2)根據下列條件，列出關于x的方程：
①12與x的差等于x的2倍;
②x的三分之一與5的和等于6.
四、課時小結
1.本節課我們學了什么知識?
2.你有什么收獲?
五、課堂作業
小青家3月份收入a元，生活費花去了三分之一，還剩2400元，求三月份的收入.
第2課時 一元一次方程
教學目標：
1.理解一元一次方程、方程的解等概念.
2.掌握檢驗某個值是不是方程的解的方法.
3.培養學生根據問題尋找相等關系、根據相等關系列出方程的能力.
4.體驗用估算方法尋求方程的解的過程，培養學生求實的態度.
教學重點：尋找相等關系，列出方程.
教學難點：對于復雜一點的方程，用估算的方法尋求方程的解，需要多次的嘗試，也需要一定的估計能力.
教學過程：
一、情境引入
問題：小雨、小思的年齡和是25.小雨年齡的2倍比小思的年齡大8歲，小雨、小思的年齡各是幾歲?
如果設小雨的年齡為x歲，你能用不同的方法表示小思的年齡嗎?(25-x，2x-8)
由于這兩個不同的式子表示的是同一個量，因此我們又可以寫成：25-x=2x-8，這樣就得到了一個方程.
二、自主嘗試
1.嘗試：讓學生嘗試解答課本P79的例1.
2.交流：
在學生基本完成解答的基礎上，請幾名學生匯報所列的方程，并解釋方程等號左右兩邊式子的含義.
3.教師在學生回答的基礎上作補充講解，并強調：(1)方程等號兩邊表示的是同一個量;(2)左右兩邊表示的方法不同.
4.討論：
問題1：在第(1)題中，你還能用兩種不同的方法來表示另一個量，再列出方程嗎?
問題2：在第(3)題中，你還能設其它的未知數為x嗎?
5.建立概念
(1)概念的建立：
在學生觀察上述方程的基礎上，教師進行歸納：各方程都只含有一個未知數，并且未知數的次數都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.
“一元”：一個未知數;“一次”：未知數的指數是一次.
判斷下列方程是不是一元一次方程：
①23-x=-7;?、?a-b=3;
初一數學《從算式到方程》教案范文三
教學
目標 1、通過處理實 際問題，讓學生體驗從算術方法到代數方法是一種進步。
2、初 步學會如何尋 找問題中的相等關系，列出方程，了解方程的概念。
3、培養學生獲取信息，分析問題，處理問題的能力 。
教學過程 一、情景引入：
教師提出教科書第79頁的問題，同時出現下圖：
問題1：從上圖中你能獲得哪些信息?
問題3：能否用方程的知識來解決這個問題呢 ?如果設王家莊到翠湖的路程為x千米，那么王家莊距 青山 千米，王家莊距秀水 千米.
二.新課講解
問題1：題目中的“汽車勻速行駛”是什么意思?
問題2：汽車在王家莊至青山這段路上行駛的速度該怎樣表示?你能表示其他各段路程的車速嗎?
問題3：根據車速相等，你能列出方程嗎?
教師引導學生設 未知數，并用含未知數的字母表示有關的數量
教師引導學生尋找相等關 系，列出方程.
教師根據學生的回答情況進行分析，如：
依據“王家莊至青山路段的車速=王家莊至秀水路段的車速”可列方程 ：
依據“王家莊至青山路段的車速=青山至 秀水路段的車速”
可列方程：
對于上面的問題，你還能列出其他方程嗎?
如果能，你依據的是哪個相等關系?
如果直接設元，還可列方程：
如果設王家莊到青山的路程為x千米，那么可以列方程：
依據各路段的車速相等，也可以先求出汽車到達翠湖的時刻：
，再列出方程 =60
三.練習鞏固
1、例題P/80
2、練習(補充)：
初一數學《從算式到方程》教案范文四
【教學習目標】
一、知識與技能
1、通過處理 實際問題，讓學生體驗從算術方法到代數方法是一種進步。
2、初步學會如何尋找問題中的相等關系，列出方程，了解方程的概念。
3、培養學生獲取信息，分析問題，處理問題的能力。
二、過程與方法
通過實際問題，感受數學與生活的聯系。
三、情感態度與價值觀
培養學生熱愛數學熱愛生活的樂觀人生態度。
【教學方法】
探索式教學法
教師準備教學用課件。
【教學過程】
一、新課引入
教師提出教科書第79頁的問題，同時出現下圖：
問題2：你會用算術方法求出王家莊到翠湖的距離嗎?
問題3：能否用方程的知識來解決這個問題呢?
可以提示學生從時間、路程、速度、四地的排列順序等方面去考慮。)
當學生列出不同算式時，應讓他們說明每個式子的含義)
教師可以在學生回答的 基礎上做回顧小結：
1、問題涉及的三個基本物理量及其關系;
2、從知的信息中可以求出汽車的速度;
3、從路程的角度可以列出不同的算式 ：
如果設王家莊到翠湖的路程為x千米，那么王家莊距青山 千米，王家莊距秀水 千米.
問題1：題目中的“汽車勻速行駛”是什么意思?
問題2：汽車在王家莊至青山這段路上行駛的速度該怎樣表示?你能表示其他各段路程的車速嗎?
問題3：根據車速相等，你能列出方程嗎?
教師引導學生設未知數，并用含未知數的字母表示有關的數量
教師引導學生尋找相等關系，列出方程.
教師根據學生的回答情況進行分析，如：
依據“王家莊至青山路段的車速=王家莊至秀水路段的車速”可列方程：
依據“王家莊至青山路段的車速=青山至秀水路段的車速”
可列方程：
給出方程的概念，介紹等式、等式的左邊、等式的右邊等概念.
含有未知數的等式叫方程.
歸納列方程解決實際問題的兩個步驟：
關鍵詞： 數學課教學目的 教材 學生思考
教師上好課是教師的本份，讓學生吸收更多的知識也是教師上好課的集中體現，如果能開創性的上課，那就是好老師。特別是數學課，因為數學課是一門邏輯性很強的學科，學生學到了知識就要學以致用，同時還能舉一反三。一名好的數學教師，他可以使用多媒體進行教學,也可以讓學生相互討論進行合作性學習，也可以用簡單的一支粉筆、幾張卡片,配合幽默的語言、可親的神態、靈活的教法,讓數學課堂精彩紛呈?？偨Y教學經驗,上好一節數學課,要處理好以下幾個方面的問題。
一、堅持有效提問的原則
為保證課堂教學中提問的有效性，教師的提問還應該堅持一些提問的基本原則。中學數學課堂教學都是圍繞著某一特定教學目的展開的，教學的中心是“傳授知識，解決問題”，這就意味著課堂教學的過程是激疑、集疑、釋疑的過程，因此必須精心設計課堂提問。
二、鉆研教材,備好課,挖掘教材的數學思想
教材是我們授課的工具,學生是我們課堂的主體,要想上好數學課,我們必須真正掌握教材和學生。新教材的彈性很大,其選擇的材料是精心組織、合理安排的,表達了一定的思想、方法和目的,但是教師怎樣設計數學情景?學生應形成怎樣的數學思想和方法,教材只做了簡短的說明。因此,我們教師在教學過程中一定要研究大綱,吃透教材,把教材中蘊涵的數學思想、方法精心設計到教案中去。例如,初一代數第一冊(上)的核心是字母表示數,正是因為有了字母表示數,我們才能總結一般公式和用字母表示定律,才形成了代數學科,這冊教材以字母表示數為主線貫穿始終,列代數式是用字母表示已知數,列方程是用字母表示未知數,同時本章用數軸把數和形緊密聯系起來,通過數形結合來鞏固量的概念、了解相反數及絕對值、研究有理數加、減法和乘法的意義等,通過有理數、整式概念的教學，滲透了分類思想，教師只有這樣去把握教材的思想體系，才能在教學中合理地滲透數學思想和方法。
三、要尊重學生的需要、保護學生的自尊心和自信心
不同班級的學生會有不同的特征，同一班級的學生也存在一定的差異。好的課程應當關注學生的差異，尊重不同學生在知識、能力、興趣等方面的需要。應當有針對性地設計不同層次的問題、不同類型和不同水平的題目，使學生都有機會參與教學活動，都能在學習過程中有所收獲。應恰當處理學生學習活動中不同類型的反饋信息，保護學生的自尊心和自信心。注意傾聽各種學生的回答，即使知道學生可能回答不對，也應讓學生表達出來自己的見解。相信學生的每一個回答都會對學生自己和別人帶來一些啟示，這些啟示有的來自正面，有的可能來自反面。
四、為學生留下思考的時間
好的課堂教學應當是富于思考的，學生應當有更多的思考的余地。學習歸根結底是學生自己的事，教師是一個組織者和引導者。學習的效果最終取決于學生是否真正參與到學習活動中，是否積極主動地思考，而教師的責任更多是為學生提供思考的機會，為學生留有思考的時間和空間。最簡單的一個指標是教師提問以后是否給學生一定的思考時間，至少有幾秒鐘的時間讓學生想，而不是急于下結論，判定學生會還是不會。特別是那些需要較深入理解和需要一定的創造性才能解決的問題，更要讓學生有一定的思考時間。
五、以練習設計 為藝術 ，促進數學能力的發展
二、重點、難點分析
本節教學的重點是完全平方公式的熟記及應用．難點是對公式特征的理解(如對公式中積的一次項系數的理解)．完全平方公式是進行代數運算與變形的重要的知識基礎。
1．兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．即：
這兩個公式是根據乘方的意義與多項式的乘法法則得到的．
這兩個公式的結構特征是：左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二中兩項的平方和，加上（這兩項相加時）或減去（這兩項相減時）這兩項乘積的2倍；公式中的字母可以表示具體的數（正數或負數），也可以表示單項式或多項式等代數式．
2．只要符合這一公式的結構特征，就可以運用這一公式．
在運用公式時，有時需要進行適當的變形，例如可先變形為或或者，再進行計算．
在運用公式時，防止發生這樣錯誤．
3．運用完全平方公式計算時，要注意：
（1）切勿把此公式與公式混淆，而隨意寫成．
（2）切勿把“乘積項”中的2丟掉．
（3）計算時，要先觀察題目特點是否符合公式的條件，若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算，若不能變為符合公式條件的形式，則應運用乘法法則進行計算．
4．與都叫做完全平方公式．為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，后者叫做兩數差的完全平方公式．
三、教法建議
1．在公式的運用上，與平方差公式的運用一樣，應著重讓學生掌握公式的結構特征和字母表示數的廣泛意義，教科書把公式中的字母同具體題目中的數或式子，用“”連結起來，逐項比較、對照，步驟寫得完整，便于學生理解如何正確地使用完全平方公式進行計算．
2．正確地使用公式的關鍵是確定是否符合使用公式的條件．重要的是確定兩數，然后再看是否兩數的和（或差），最后按照公式寫出兩數和（或差）的平方的結果．
3．如何使學生記牢公式呢？我們注意了以下兩點．
（1）既講“法”，又講“理”
在教學中要講法則、公式的應用，也要講公式的推導，使學生在理解公式、法則道理的基礎上進行記憶．我們引導學生借助面積圖形對完全平方公式做直觀說明，也是對說理的重視．在“明白道理”這個前提下的記憶，即使學生將來發生錯誤也易于糾正．
（2）講聯系、講對比、講特點
對于類似的內容學生容易混淆，比如在本節出現的(ab)2=a2b2的錯誤，其原因是把完全平方公式和“舊”知識(ab)2=a2b2及分配律弄混，排除新舊知識間相互干擾的一種作法是向學生指明新知識的特點．所以講“理”是要講聯系、講對比、講特點．
教學設計示例
一、教學目標
1．理解完全平方公式的意義，準確掌握兩個公式的結構特征．
2．熟練運用公式進行計算．
3．通過推導公式訓練學生發現問題、探索規律的能力．
4．培養學生用數形結合的方法解決問題的數學思想．
5．滲透數學公式的結構美、和諧美．
二、學法引導
1．教學方法：嘗試指導法、講練結合法．
2．學生學法：本節學習了乘法公式中的完全平方，一個是兩數和的平方，另一個是兩數差的平方，兩者僅一個“符號”不同．相乘的結果是兩數的平方和，加上（或減去）兩數的積的2倍，兩者也僅差一個“符號”不同，運用完全平方公式計算時，要注意：
（1）切勿把此公式與公式混淆，而隨意寫成．
（2）切勿把“乘積項”2ab中的2丟掉．
（3）計算時，要先觀察題目是否符合公式的條件．若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算；若不能變為符合條件的形式，則應運用乘法法則進行計算．
三、重點·難點及解決辦法
（一）重點
掌握公式的結構特征和字母表示的廣泛含義，正確運用公式進行計算．
（二）難點
綜合運用平方差公式與完全平方公式進行計算．
（三）解決辦法
加強對公式結構特征的深入理解，在反復練習中掌握公式的應用．
四、課時安排
一課時．
五、教具學具準備
投影儀或電腦、自制膠片．
六、師生互動活動設計
1．讓學生自編幾道符合平方差公式結構的計算題，目的是辨認題目的結構特征．
2．引入完全平方公式，讓學生用文字概括公式的內容，培養抽象的數字思維能力．
3．舉例分析如何正確使用完全平方公式，師生共練完成本課時重點內容．
4．適時練習并總結，從實踐到理論再回到實踐，以指導今后的解題．，全國公務員共同天地
七、教學步驟
（一）明確目標
本節課重點學習完全平方公式及其應用．
（二）整體感知
掌握好完全平方公式的關鍵在于能正確識別符合公式特征的結構，同時還要注意公式中2ab中2的問題，在解題過程中應多觀察、多思考、多揣摩規律．
（三）教學過程
1．計算導入；求得公式
（1）敘述平方差公式的內容并用字母表示；
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七年級數學教案完全平方公式
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>教學建議
一、知識結構
二、重點、難點分析
本節教學的重點是完全平方公式的熟記及應用．難點是對公式特征的理解(如對公式中積的一次項系數的理解)．完全平方公式是進行代數運算與變形的重要的知識基礎。
1．兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．即：
這兩個公式是根據乘方的意義與多項式的乘法法則得到的．
這兩個公式的結構特征是：左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二中兩項的平方和，加上（這兩項相加時）或減去（這兩項相減時）這兩項乘積的2倍；公式中的字母可以表示具體的數（正數或負數），也可以表示單項式或多項式等代數式．
2．只要符合這一公式的結構特征，就可以運用這一公式．
在運用公式時，有時需要進行適當的變形，例如可先變形為或或者，再進行計算．
在運用公式時，防止發生這樣錯誤．
3．運用完全平方公式計算時，要注意：
（1）切勿把此公式與公式混淆，而隨意寫成．
（2）切勿把“乘積項”中的2丟掉．
（3）計算時，要先觀察題目特點是否符合公式的條件，若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算，若不能變為符合公式條件的形式，則應運用乘法法則進行計算．
4．與都叫做完全平方公式．為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，后者叫做兩數差的完全平方公式．
三、教法建議
1．在公式的運用上，與平方差公式的運用一樣，應著重讓學生掌握公式的結構特征和字母表示數的廣泛意義，教科書把公式中的字母同具體題目中的數或式子，用“”連結起來，逐項比較、對照，步驟寫得完整，便于學生理解如何正確地使用完全平方公式進行計算．
2．正確地使用公式的關鍵是確定是否符合使用公式的條件．重要的是確定兩數，然后再看是否兩數的和（或差），最后按照公式寫出兩數和（或差）的平方的結果．
3．如何使學生記牢公式呢？我們注意了以下兩點．
（1）既講“法”，又講“理”
在教學中要講法則、公式的應用，也要講公式的推導，使學生在理解公式、法則道理的基礎上進行記憶．我們引導學生借助面積圖形對完全平方公式做直觀說明，也是對說理的重視．在“明白道理”這個前提下的記憶，即使學生將來發生錯誤也易于糾正．
（2）講聯系、講對比、講特點
對于類似的內容學生容易混淆，比如在本節出現的(ab)2=a2b2的錯誤，其原因是把完全平方公式和“舊”知識(ab)2=a2b2及分配律弄混，排除新舊知識間相互干擾的一種作法是向學生指明新知識的特點．所以講“理”是要講聯系、講對比、講特點．
教學設計示例
一、教學目標
1．理解完全平方公式的意義，準確掌握兩個公式的結構特征．
2．熟練運用公式進行計算．
3．通過推導公式訓練學生發現問題、探索規律的能力．
4．培養學生用數形結合的方法解決問題的數學思想．
5．滲透數學公式的結構美、和諧美．
二、學法引導
1．教學方法：嘗試指導法、講練結合法．
2．學生學法：本節學習了乘法公式中的完全平方，一個是兩數和的平方，另一個是兩數差的平方，兩者僅一個“符號”不同．相乘的結果是兩數的平方和，加上（或減去）兩數的積的2倍，兩者也僅差一個“符號”不同，運用完全平方公式計算時，要注意：
（1）切勿把此公式與公式混淆，而隨意寫成．
（2）切勿把“乘積項”2ab中的2丟掉．
（3）計算時，要先觀察題目是否符合公式的條件．若不符合，應先變形為符合公式的條件的形式，再利用公式進行計算；若不能變為符合條件的形式，則應運用乘法法則進行計算．
三、重點·難點及解決辦法
（一）重點
掌握公式的結構特征和字母表示的廣泛含義，正確運用公式進行計算．
（二）難點
綜合運用平方差公式與完全平方公式進行計算．
（三）解決辦法
加強對公式結構特征的深入理解，在反復練習中掌握公式的應用．
四、課時安排
一課時．
五、教具學具準備
投影儀或電腦、自制膠片．
六、師生互動活動設計
1．讓學生自編幾道符合平方差公式結構的計算題，目的是辨認題目的結構特征．
2．引入完全平方公式，讓學生用文字概括公式的內容，培養抽象的數字思維能力．
3．舉例分析如何正確使用完全平方公式，師生共練完成本課時重點內容．
4．適時練習并總結，從實踐到理論再回到實踐，以指導今后的解題．
七、教學步驟
（一）明確目標
本節課重點學習完全平方公式及其應用．
（二）整體感知
掌握好完全平方公式的關鍵在于能正確識別符合公式特征的結構，同時還要注意公式中2ab中2的問題，在解題過程中應多觀察、多思考、多揣摩規律．
（三）教學過程
1．計算導入；求得公式
（1）敘述平方差公式的內容并用字母表示；
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（2）用簡便方法計算
①103×97
②103×103
（3）請同學們自編一個符合平方差公式結構的計算題，并算出結果．
學生活動：編題、解題，然后兩至三個學生說出題目和結果．
要想用好公式，關鍵在于辨認題目的結構特征，正確使用公式，這節課我們繼續學習“乘
法公式”．
引例：計算，
學生活動：計算，，兩名學生板演，其他學生在練習本上完成，然后說出答案，得出公式．
或合并為：
教師引導學生用文字概括公式．
方法：由學生概括，教師給予肯定、否定或更正，同時板書．
兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．
【教法說明】
①復習平方差公式，主要是引起回憶，鞏固公式；編題在于提高興趣．
②有了平方差公式的推導過程，學生基本建立起了一些特殊多項式乘法的認識方法，因此推導完全平方公式可以由計算直接得出．
2．結合圖形，理解公式
根據圖形完成下列問題：
如圖：A、B兩圖均為正方形，
（1）圖A中正方形的面積為____________，（用代數式表示）
圖Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面積分別為_______________________。
（2）圖B中，正方形的面積為____________________，
Ⅲ的面積為______________，
Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積和為____________，
用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面積表示Ⅲ的面積_________________。
分別得出結論：
學生活動：在教師引導下回答問題．
【教法說明】利用圖形講解，增強學生對公式的直觀理解，以便更好地掌握公式，同時也培養學生數形結合的數學思想。
3．探索新知，講授新課
（1）引例：計算
教師講解：在中，把x看成a，把2y看成b，在中把2x看成a，把3y看成b，則、，就可用完全平方公式來計算，即
【教法說明】引例的目的在于使學生進一步理解公式的結構，為運用公式打好基礎．
（2）例1運用完全平方公式計算：
①②③
學生活動：學生獨立在練習本上嘗試解題，3個學生板演．
【教法說明】讓學生先模仿公式解題，學生可能會出現一些問題，這也正是學生對公式理解、應用和熟練程度上存在的需要解決的問題，反饋后要緊扣公式，重點講解，達到解決問題的目的，關于例呈中（3）的計算，可對照公式直接計算，也可變形成，然后再進行計算，同時也可訓練學生靈活運用學過的知識的能力．
4．嘗試反饋，鞏固知識
練習一
運用完全平方公式計算：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）（8）（9）
（l0）
學生活動：學生在練習本上完成，然后同學互評，教師抽看結果，練習中存在的共性問題要集中解決．
5．變式訓練，培養能力
練
運用完全平方公式計算：
（l）（2）（3）（4）
學生活動：學生分組討論，選代表解答．
練習三
（1）有甲、乙、丙、丁四名同學，共同計算，以下是他們的計算過程，請判斷他們的計算是否正確，不正確的請指出錯在哪里．
甲的計算過程是：原式
乙的計算過程是：原式
丙的計算過程是：原式
丁的計算過程是：原式
（2）想一想，與相等嗎？為什么？
與相等嗎？為什么？
學生活動：觀察、思考后，回答問題．
【教法說明】練是一組數字計算題，使學生體會到公式的用途，也可以激發學生學習興趣，調動學生的學習積極性，同時也起到加深理解公式的作用．練習三第（l）題實際是課本例4，此題是與平方差公式的綜合運用，難度較大．通過給出解題步驟，讓學生進行判斷，使難度降低，學生易于理解，教師要注意引導學生分析這類題的結構特征，掌握解題方法．通過完成第（2）題使學生進一步理解與之間的相等關系，同時加深理解代數中“a”具有的廣泛意義．
練習四
運用乘法公式計算：
（l）（2）
（3）（4）
學生活動：采取比賽的方式把學生分成四組，每組完成一題，看哪一組完成得快而且準確，每組各派一個學生板演本組題目．
【教法說明】這樣做的目的是訓練學生的快速反應能力及綜合運用知識的能力，同時也激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛．
（四）總結、擴展
這節課我們學習了乘法公式中的完全平方公式．
引導學生舉例說明公式的結構特征，公式中字母含義和運用公式時應該注意的問題．
八、布置作業
P1331，2．（3）（4）．
參考答案
一、精心預設，創造“生成”空間
教師的精心預設，可以為學生“生成性資源”的重組留有足夠的空間與時間。因此，在新課標下教師必須重視課堂預設，以生為本，課前從多種角度對課堂進行合理安排，使預設更加科學、靈活、生活化，從而使教師的“教”有效地促進學生的“學”，讓課堂因預設而精彩。下面以三年級上冊《秒的認識》為例談談自己的做法。
師：一秒鐘到底有多長呢？
1. 聽一聽
師：小朋友們，請把眼睛閉上，仔細聽一聽秒針一秒一秒跳動的聲音和節奏（播放課件）。
師：哪位小朋友愿意把你聽到的聲音模仿出來給大家聽？你還能想出其他聲音來表示1秒嗎？
生：……
2. 動一動
師：小朋友們，你們能用一個動作來表示一秒的時間嗎？（如果學生設計合理，教師可以利用課件讓學生配合一秒的節奏做，邊做動作邊數數）
生（表演）：……
3. 體驗一秒的價值
師：小朋友們，你們從剛才的活動中感受到了一秒鐘到底有多長，如果給你一秒，你可以做什么呢？
生：……
師：是啊，一秒的時間太短了，滴答一下就過去了。一秒雖然短，也能做很多事呢，請看（播放課件）：噴氣式飛機每秒飛行500米;火車每秒運行20米……
師：看了這么多介紹，小朋友們有什么感想？
生（自由發言）：……
上面的教學設計由于1秒看不見，摸不著，為了讓學生形成對1秒的深刻體驗，筆者巧妙地進行了三個層次的教學預設，讓學生利用多種感官，全方位地體驗一秒鐘的長短。在這個過程中，孩子們的數學知識形成了，數學的概念，數學的情感、態度與價值觀等也在不知不覺中生成了?！凹埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行。”靈活、開放的教學預設是開啟孩子們思維之門的金鑰匙，只要我們教師多一份精心預設，課堂就會多一份有效生成，學生就會多一份發展的空間，我們的課堂就會因預設更精彩，因精彩更高效。
二、隨機而變，捕捉意外“生成”
《新課標》明確指出：數學教師應高度重視課程資源的開發和利用，要有強烈的資源意識，努力開發，積極利用。在我們的課堂教學中總會遇到一些意想不到的事情，當出現意外時我們要有敏銳的思維和應對措施，隨機應變，以合理的手段處理突發而至的生成，讓課堂因“意外”而靈動。下面是筆者執教五年級下冊《眾數》一課時，為鞏固學生所學知識，在做一道練習題時所發生的“意外”情況。
一個射擊隊要從兩名運動員中選拔一名參加比賽。在選拔賽上兩人各打了10發子彈，成績如下：（單位：環）
甲：9.5 10 9.3 9.5 9.6 9.5 9.4 9.5 9.2 9.5
乙：10 9 10 8.3 9.8 9.5 10 9.8 8.7 9.9
（1）甲乙成績的平均數、眾數分別是多少？（2）你認為誰去參加比賽更合適？為什么？
根據學生的匯報板書：
平均數：甲是 9.5 乙是 9.5
眾 數：甲是9.5 乙是 10
生1：兩名隊員的平均數相同，無法從平均數判斷選誰合適;甲的眾數是9.5，而乙的眾數是10，通過眾數對比，應該選擇乙去參加更合適！
師：大家同意嗎？
全班學生（齊）：同意！
師：老師和你的想法一樣。你真是一個會動腦筋的孩子?。üP者預設的答案是讓學生利用剛學的眾數知識解答此道題）
生2：老師，我不同意他的觀點，我認為選擇甲參加合適。
面對突如其來的質疑，筆者并沒有打斷他的想法，而是面帶微笑地對他說：“請說說你的理由?！?/p>
生2：從兩組數據來看，甲的成績最少是9.2環，多數在9.5環以上，說明他的成績比較穩定;而乙雖然有三次在10環，但他最少的是8.3環，還有一個是8.7環，這說明他的成績不穩定。要選，就該選成績穩定的。
“你真是一個善于思考的孩子！”聽完這位同學的解釋，筆者靈機一動，“是啊，我們站在不同的角度思考問題，往往會有不同的結果，有智慧的人就是會善于思考……”
只要課堂存在，教學意外就必定伴隨其左右，在我們的教學中隨時都有可能發生意外的通道和美麗的圖景。上面的教學片斷，筆者并沒有因擔心完成不了預定的教學任務，對突發而至的生成采取冷處理，而是靈活地調整預設，耐心傾聽，尊重每一位學生，讓他們都有機會展示自己獨特的思維，讓每一個學生都有機會體驗成功。新課程背景下的數學課堂教學力求高效、靈活，數學活動開放性強，學生思維經常在教學中迸出火花。在教學中只要我們有一雙慧眼，透視課堂，敏銳捕捉一些意外中有價值的信息，并把它們整合到課程資源中去，我們的課堂就會因“意外”而靈動，因靈動而高效。
三、化錯成蝶，巧用錯誤“生成”
有智慧的老師不會照搬教案，也不會人云亦云，因為他們知道，動態生成的課堂才是真實的課堂，是孩子們喜愛的課堂。小學階段由于學生的認識能力和生活經驗有限，在數學課堂中會經常出現對某些重要知識理解不到位、不能達成教學目標的情況。這時作為教師的我們就要將錯就錯，巧用錯誤生成對學生的思維進行引導，讓高效課堂因“錯誤”而美麗。筆者在執教五年級上冊《用字母表示數》時，為了讓學生進一步體驗用字母表示數的實際意義，課件出示了一道題，讓學生把兒歌《數青蛙》改編成用字母表示：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿，撲通一聲跳下水。
生1：a只青蛙b張嘴，c只眼睛d條腿，撲通n聲跳下水。（面對學生錯誤的 “創作”，筆者沒有馬上作出答復，而是引導學生展開討論、辨析。）
師：請同學們先讀讀原歌詞，再讀讀新編的歌詞，比較后再來評價這位同學的創作是否合理。（這時立刻有學生起來反駁。）
生2：兒歌用了五個不同的字母，雖然編寫符合了用字母表示數，但這些字母之間毫無聯系。
生3：如果將數字代入就會變成這樣：1只青蛙2張嘴，3只眼睛4條腿，撲通5聲跳下水。這顯然是錯的，所編歌詞意思和實際情況不符。
生4：……
（在辨析中，大家都明確了用字母編寫兒歌要考慮到數字之間存在的數量關系。在此基礎上筆者趁熱打鐵，追問：兒歌前后數字之間有怎樣的數量關系呢？一石擊起千層浪，馬上又有學生站起來回答了。）
生5：青蛙的只數是關鍵，其他數字都和它有聯系。
生6：所編的兒歌里應該只出現一個字母。
生7：眼睛的只數是青蛙只數的2倍，腿的條數是青蛙只數的4倍……
師：（這時又一次把目光轉向了編兒歌的那位同學，面帶微笑地）聽了大家的意見，現在對你的創作有什么修改意見嗎？
生1：（這時信心十足地）a只青蛙a張嘴，2a只眼睛4a條腿，撲通a聲跳下水。
這時全班響起了熱烈的掌聲。
師：同學們不僅找到了錯誤的原因，還能結合數字之間的數量關系尋找改正的方法，真了不起！學習不可能不犯錯，關鍵要善于思考，從錯誤入手，借助一些策略，主動分析原因，尋找正確答案……
課堂是學生可以出錯的樂園，因為出錯，才會有老師的精心點撥、巧妙引導、逐層解惑。當學生的思維處于十字路口時，我們不妨接住孩子拋來的“繡球”，再把這個“繡球”巧妙地拋回給學生，讓學生在開展錯誤思維的碰撞中，使學生的思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步與發展。在上面的教學片斷中，因為學生錯編了青蛙兒歌，筆者機智地將“錯誤”當成一種寶貴的教學再生資源，從而讓學生意外地發現了兒歌中的數字特點并靈活地用字母表示出來，學生在“出錯”與“改錯”中不知不覺地掌握了本節課的知識要點。毋庸置疑，此節課學生因“錯誤”的生成，學得更扎實、更有效。
