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【關鍵詞】孕婦;步行;步態;胸部;骨盆;生物力學
ABSTRACT:fortablewalkingvelocity,amplitudesofpelvicandthoracicrotations,andtheircoordinationwerecomparedbetweenthetwogroups.ResultsComfortablewalkingvelocitywassignificantlyreduced.Therotationalamplitudesofpelvisandthoraxweresomewhatreduced,withsignificantlysmallerintraindividualstandarddeviations.AlsopelvisthoraxRelativeFourierPhasewasalittlesmaller;itsintraindividualstandarddeviationwassignificantlyreducedatvelocities≥1.06m/s.ConclusionThegeneralpatternofgaitkinematicsinpregnantwomenisverysimilartothatofnulligravidae.Pregnantwomenexperienceddifficultiesinrealizingtheharderantiphasepelvisthoraxcoordinationthatwasrequiredathigherwalkingvelocities.
KEYWORDS:pregnantwomen;walking;gait;pelvis;thorax;biomechanics
長期以來,人們一直認為妊娠影響孕婦的步態運動。Foti等研究發現,孕婦步行時跖屈的動量減少,髖關節外展的動量及骨盆的傾斜度均增加,骨盆的傾斜度的改變存在較大的個體差異[1]。Nagy等報道孕婦最舒適的步行速度顯著性降低,亦存在較大的個體差異[2]。但Foti等認為這種變化并無統計學意義,并發現懷孕對步長或步周期長無顯著性影響[1]。上述研究顯示,孕婦的步態發生改變,但研究結果并不一致。大約25%患有妊娠相關骨盆痛的孕婦和5%產后患者需要就診治療,重癥患者常常出現步行障礙[3]。對正常孕婦運動協調的研究可作為今后研究妊娠相關骨盆痛的步態運動的基礎。筆者研究懷孕對步行時水平面上骨盆和胸廓運動協調的影響,以期有助于從生物力學的角度進一步了解妊娠相關骨盆痛患者的步態運動。
1對象與方法
1.1對象選取年齡20～45周歲的健康未孕婦女(對照組)和健康孕婦(孕婦組)作為觀察對象。對照組13例,年齡中位數27歲(22～36歲),體質量中位數75kg(45～95kg),身高中位數172cm(157～190cm);孕婦組12例,年齡中位數32歲(30～38歲),體質量中位數76.5kg(67.5～89kg),身高中位數172cm(162～180cm)。
1.2方法
1.2.1儀器步行儀(BiostarGiant,荷蘭AlmereBiometrico公司);三維運動捕捉系統(Optotrak,加拿大NDI公司)。
1.2.2方法受試者以不同速度在步行儀上行走。骨盆、胸廓和足部的運動由三維運動捕捉系統光學鏡頭拍攝記錄。2組光學鏡頭位于受試者的身后。在受試者的胸背部第6胸椎棘突的位置和骶骨兩髂后上棘之間各有一輕金屬架,用尼龍束帶將金屬架固定其上,金屬架上有3個可發紅外光裝置,構成一個剛體。為了捕獲步行時足跟著地和足趾離地時的瞬間,在每側足跟和第五跖趾關節處各安裝一可發出紅外線的裝置。實驗裝置見圖1[4]。實驗開始時先讓受試者在步行儀上行走3～5min,接著步行速度從0.17m/s每間隔1～2min增加0.11m/s,至1.72m/s。步行過程中,測試受試者最舒適步行速度和最大步行速度。每個速度下的數據采集共30s,抽樣頻率為100Hz。
圖1測量步行時胸廓和骨盆運動的實驗裝置（略）
Fig1Experimentalsetupformeasuringthethoracicandpelvicmovementsduringwalking
1.2.3指標胸廓和骨盆的剛體在空間的運動代表各自的三維運動。設定剛體x、y、z軸的正方向為人體解剖位的前、上、左方位。通過計算xy象限上的反正切角度得出骨盆和胸廓在水平面上旋轉角度的時序。骨盆和胸廓的旋轉運動幅度(rotationalamplitude,RA)是從各自的運動時序上確定每一個步周期內最大與最小的角度差的絕對值。軀干的旋轉運動時序是將骨盆運動時序與胸廓的運動時序相減而生成。在每一速度下對骨盆、胸廓和軀干的所有步周期的RA進行計算,取均值,分別確定為骨盆、胸廓和軀干的RA,并計算各自標準差。
應用快速離散傅立葉變換計算公式計算出每個運動時序的連續傅立葉相的時序。骨盆和胸廓的傅立葉相差時序是由胸廓的傅立葉相時序與骨盆的傅立葉相時序相減而產生。運用圓周統計學計算出骨盆和胸廓運動的傅立葉相差(relativefourierphase,RFP)及其個體內標準差。若RFP為0,表示同相協調運動;若RFP為180°,則表示反相協調運動。
1.3統計學處理應用SPSS10.0軟件,采用方差檢驗,P<0.05為差別有統計學意義。
2結果
2.1步行速度正常孕婦的最舒適步行速度中位數1.06m/s(0.72～1.28)m/s,對照組為1.17m/s(0.83～1.50)m/s,2組比較差別有統計學意義(P<0.05)。
2.2骨盆和胸廓RA及其個體內標準差骨盆RA先是隨著步行速度的增加(0.94～1.06m/s)而逐漸減小,然后隨著步行速度的增加而逐漸增加(圖2A)。孕婦組和對照組骨盆RA分別為(9.1±福建醫科大學學報2008年5月第42卷第3期吳文華等：正常孕婦步行時骨盆與胸廓水平面的旋轉運動3.5)°和(7.7±3.2)°,其速度效應差別有統計學意義(P<0.05)。孕婦骨盆RA的個體內標準差較對照組減少(P<0.05),孕婦組和對照組的值分別為(1.3±0.4)°和(1.6±0.5)°(表1)。
圖2對照組和孕婦組在不同步行速度下各部位的旋轉運動幅度（略）
Fig2Rotationalamplitudesofthepelvis,thethoraxandthetrunkduringgaitatdifferentwalkingvelocitiesofthecontrolsubjectsandthehealthypregnantwomen
表1各變量的速度效應和組別效應（略）
Tab1Theeffectsofvelocityandgrouponthevariables(repeatedmeasuresANOVAs)
胸廓RA基本維持穩定而變化不大直至步行速度增至0.8m/s時,然后隨著步行速度的遞增而漸減少(圖2B)。經方差檢驗,速度的效應差別有統計學意義(P<0.05)。孕婦胸廓RA的個體內標準差比對照組減少(P<0.05)。孕婦組和對照組的均值分別為1.2°和1.7°,其速度效應差別有統計學意義(P<0.05)。
軀干RA是隨著行步速度的增加而遞增的(圖2C),孕婦的軀干RA較對照組約小1°,其速度效應有統計學意義(P<0.05),孕婦軀干RA的個體內標準差較對照組小(P<0.05),孕婦組和對照組的值分別為(0.7±0.3)°和(1.0±0.4)°,其速度效應有統計學意義(P<0.05)。在最舒適的步行速度下,孕婦骨盆和軀干RA較對照組小(P<0.05)。
2.3RFP及其個體內標準差
圖3對照組和孕婦組在不同步行速度下的傅立葉相差及其個體內的標準差（略）
Fig3Relativefourierphaseanditsintraindividualstandarddeviationbetweentransversepelvicandthoracicrotationsatdifferentwalkingvelocitiesofthecontrolsubjectsandthehealthypregnantwomen
2組RFP均隨著速度的增加而增加(圖3A),呈一條S形曲線,在速度為0.83,1.17m/s的區域內最為陡峭。孕婦的RFP較對照組小7°。其步行速度效應有統計學的意義(P<0.05)。RFP的個體內的標準差與速度的關系有點不規則(圖3B),隨著速度的遞增而增加,直至速度到達0.94～1.17m/s;接著是一個平臺或稍有點下降,在最舒適的步行速度時,達到最高值。孕婦的RFP的個體內標準差較對照組小(P<0.05),其速度效應差別有統計學意義(P<0.05)。
孕婦的孕周數與RFP的個體內標準差相關系數為－0.68,差別有統計學意義(P<0.05)。在最舒適的步行速度下,孕婦的RFP及其個體內標準差均比對照組小(P<0.05)。
3討論
3.1總體上孕婦的步態運動正常在2組中,速度對RA、骨盆胸廓RFP及其個體內的標準差的影響相似(圖2～3),由此得出結論,孕婦的步態運動從總體上講是正常的。懷孕和行走本身就具有高度的相容性,從進化學的角度而言,這并不難理解[5]。盡管如此,孕婦的最舒適的步行速度明顯的下降,RA變小,尤其是在最舒適的速度下骨盆和軀干RA的減少具有顯著性差異。他們的個體內標準差減少,具有統計學意義。骨盆和胸廓RFP變小,在最舒適的速度下具有顯著性差異,其個體內標準差變小,在快速行走的速度下(≥1.06m/s),這種差別有統計學意義。孕周數與此個體內的標準差呈顯著性負相關。孕婦必須適應懷孕的改變,比如體質量的增加。本研究揭示在孕婦身上發生了輕微但是連貫一致的運動學變化,這點與以往文獻報道的有所不同[12]。
3.2孕婦骨盆胸廓旋轉運動的RFP孕婦選擇在低速下步行不能用節約能量的觀點來解釋,因為當步行速度低于(或高于)最舒適的速度時,須消耗更多的能量[5]。盡管如此,低速行走獲得了更多時間來對微擾進行反應[6],這也許是孕婦由于額外的載荷或本體覺受干擾而選擇低速行走的原因,目的是為了避免出現快速步行時的運動協調模式。
本研究表明,未懷孕婦女的最舒適步行速度出現在RFP的曲線上的平臺起始段,而孕婦最舒適步行速度則是出現在曲線陡坡的半山腰處,此時2組間的RFP的差值為44°。當孕婦快速步行時,RFP值較高,但其變異性很小,這提示了對孕婦而言,完成大的RFP的步態是有困難的,這種現象同樣發生在背著負荷的受試者、慢性下腰痛患者、妊娠相關骨盆痛產后的患者[4,78]。出現較小RFP的步態運動可以由許多種不同的限制性因素造成,妊娠便是其中之一。
比較骨盆、胸廓和軀干旋轉運動的個體內標準差,他們的平均值分別為1.25°,1.29°和0.66°。如果骨盆和胸廓的旋轉運動的控制是相互獨立的話;而實際上,它的值小得多。因此,骨盆和胸廓的旋轉運動似乎是同時受到控制的,雖然軀干的旋轉運動在快速行走的協調方面不是一個“必須的變量”[9],因為軀干的旋轉缺乏時間維。顯然,RFP是和時間變量有關,它也許是快速步行時的必須變量,以確?？焖傩凶邥r骨盆的旋轉運動必須被胸廓的反向旋轉運動所平衡[10]。就孕婦的步態而言,快速行走時骨盆和胸廓的慣性沖量將會增加,這也許是孕婦無法實現大的RFP步態運動的原因。
3.3孕婦步態運動的變異性自從Bernstein引入了“探索變異性”以來,對運動的變異性研究漸漸興起。運動的變異性常常被認為是具有功能性,才有可能有靈活性、適應性;然而變異性會消耗能量及增加損傷的可能性,因此變異性的功能性必須看是針對何種情形而言[1114]。
一個較為奇怪的現象是骨盆與胸廓間的RFP的個體內的變異的最大值在非常靠近最舒適步行速度的地方出現。Masani等人發現地面作用力的變異在最舒適步行速度時最小[15],也許在最舒適的速度下,身體重心的垂直運動是必須的變量,而在水平面上的骨盆和胸廓間的RFP在快速步行時則變成是必須的變量。撇開RFP的變異性是如何發揮作用的,在懷孕期間,尤其在懷孕晚期,RFP的變異性是如何在最舒適步行速度下增加并且在快速行走時減少有待于進一步研究。
筆者認為,正常孕婦的步態運動學特征與未懷孕的婦女相似。盡管如此,2組間存在著許多細微的差別。孕婦的最舒適步行速度較對照組顯著性下降。骨盆、胸廓和軀干的RA較對照組小。他們的個體內的標準差則較對照組低。在最舒適步行速度下,骨盆和軀干的RA較對照組小。孕婦組的RFP較對照組小,在速度≥1.06m/s,個體內的標準差呈顯著性減少,尤其是在懷孕晚期表現更為明顯。
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關鍵詞：差異指標 差異指標的差異
在統計學及其相關課程中，有關差異指標（也稱“差異量數”，下同）的教學要點有二：一是差異指標的意義，二是差異指標的種類。前者的要義可概括為：綜合反映總體（或樣本）各個單位標志值（或數據）的差異程度（或離中趨勢、離散程度等）；后者的意思是說：差異指標的種類很多，它們各有自己的計算方法和特點。如果我們把后者的這種不同種類、特點也統稱做“差異”的話，那么，我們在統計學有關學科的教學過程中，就應把這兩個方面的“差異”向學生交代清楚，使他們對差異指標之“差異”有個客觀、全面而準確的理解，從而避免由于理解的片面性得出錯誤的判斷。
一、正確理解不同差異指標之間的“差異”
人教版初中代數第三冊教師教學用書第171頁有這樣一段話：“在表示各數據與其平均數的偏離程度時，……為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而要將它們平方，……這主要是因為在很多問題里含有絕對值的式子不便于計算，且在衡量一組數據波動大小的‘功能’上，方差更強些。例如有兩組數據：
甲 9 ，1 ，0 ，－1 ，－9；
乙 6 ，4 ，0 ，－4 ，－6。
從直觀上看，甲組數據的波動要比乙組數據大些，但它們的平均差都是4，區分不出其波動大小；而甲組數據的方差是32.8，乙組數據的方差是20.8，用方差可將它們的波動大小區別開來?！?/p>
其實，上述的一段描述是在告訴讀者這樣一個命題：在平均差與方差（或標準差）之間，方差（或標準差）表示數據波動大小的“功能”強于平均差。
這個命題是真的么？請看下一個例子：
在一次射擊比賽中，甲乙兩射手成績記錄如下：
甲 9 ，7 ，9 ，9 ，7 ，7 ，7 ，9；
乙 6 ，8 ，8 ，8 ，10 ，8 ，8 ，8 。
計算他們的平均值、標準差、平均差（如表）。
在這里，兩組數據的標準差都是1，區分不出波動的大小，但甲組的平均差為1，乙組的平均差為0.5，我們通過平均差得出結論：甲組成績的波動性大于乙組的波動性。于是又否定了上述命題，并得到一個于完全相反的命題（敘述從略）。
顯然，若綜合以上兩種（假）命題，取其正確部分的話，那么，正確命題應為：
平均差和標準差（或方差），在所反映的總體（或樣本）單位標志值的差異性上具有一致性，但區分這種差異大小的“功能”誰更強些不是絕對的。
那么，為什么人們在學習、應用統計學的多個差異指標時更多關注的是標準差呢？主要有以下理由：（1）反映靈敏，它隨任何一個數據的變化而變化；（2）嚴密確定，一組數據的標準差有確定的值；（3）適合代數運算，可以將幾個標準差合成一個總的標準差；（4）可以用樣本數據推斷總體差異量；（5）在計算其它統計量時，如差異系數、相關系數、標準分數等，都需要標準差。
二、正確理解同一個差異指標值在實際背景中釋義的“差異”
某社出版的數學輔導教材有題如下：
甲乙兩組學生各有8人，參加某門學科測試成績如表2（100分制），請比較兩組學生的成績哪組較好一些。
因為 ，甲組成績的波動比乙組小一些，所以甲組學生的成績較好一些。
筆者認為：標準答案制訂者是建立在“組內學生之間學習差異越小，成績越好”的教育教學理念下做出這一判斷及結論的。要知道，在新課程的教育教學理念下是允許學生與學生之間存在差異的，倡導學生在學習各門課程時敢于“冒尖”、創新，不搞“一刀切”，要讓學生在全面發展的基礎上培養個人特長。在評價學生時，以多元智能理論為依據，多方法、多手段、多尺度地考查學生的學習效果?；诖?，我們又可以認為乙組的成績好于甲組。甚至，倘若再對照例題中兩組學生的其他指標情況，比如優秀率：若規定90分以上為優秀，則兩組持平；若規定85分以上為優秀，則甲組為1/8，乙組為1/2，也會得出乙組的成績好于甲組的結論。
總之，我們在用統計中差異指標的“差異”值解釋現實現象并下結論時，不可以將教材中所說的變異指標值愈小，對相應平均指標的代表性愈好、穩定性也好，機械地認為“一切都好”，這是對差異指標本質的誤解和歪曲。
[關鍵詞] 應收賬款 應收賬款周轉率 預期值 標準差 變化系數
一、應收賬款周轉率指標的含義及其計算方法
應收賬款是指企業銷售產品、商品、提供勞務等原因，應該向購買客戶收取的款項和代墊的運雜費，它是企業營運資金的重要組成部分。《企業效績評價操作細則》規定了企業效績評價指標由基本指標、修正指標和評議指標三個層次共32項指標構成。應收賬款周轉率指標是屬于修正指標中的第五項指標，該指標反映了一個會計年度內應收賬款轉換為現金的次數，它說明了應收賬款流動的速度，也叫應收賬款回收期或平均收現期。計算公式為：
賒銷收入凈額數據來自于損益表，賒銷收入凈額=銷售收入―現銷收入―銷售退回、折扣與折讓；“平均應收賬款余額”數據來自于資產負債表，平均應收賬款余額=（“期初應收賬款余額 ”+“期末應收賬款余額”）/2。
一般說來，企業的該項比率越高，說明企業催收賬款的速度越快，壞賬損失越少，資產流動性和企業的短期償債能力也會增強；若企業應收賬款周轉率過低，則說明企業催收賬款的效率太低或信用政策過于寬松，會影響企業資金利用率和資金的正常周轉。
二、應收賬款周轉率指標存在的問題及改進
1.對分子的改進
應收賬款周轉率反映的是本年度應收賬款轉為現金的次數，那么上述公式中的分子應該是本年應收賬款不斷收回現金所形成的周轉額，而把主營業務收入凈額作為分子有失偏頗。因為主營業務收入凈額既包括賒銷額也包括現銷額，把整個主營業務收入凈額（不管是現銷、賒銷）列為分子就暗含一種前提假設，即本年（本期）的銷售，無論哪家企業、無論銷售何時發生，本年（本期）都必須全部收回現金，只有這樣應收賬款周轉率才能反映本年度或一定時期應收賬款轉為現金的次數。但關鍵是主營業務收入凈額（即便全是賒銷）也僅僅是一年（一定時期）的經營成果，而一般很難在同一年（同一時期）全部收回現金。這種前提假設與實際不相符，因此，主營業務收入凈額絕不是應收賬款收回現金的周轉額，其不能作為應收賬款周轉率的分子。
根據應收賬款的周轉過程，賒銷形成應收賬款（記“應收賬款”科目借方），收回現金形成應收賬款周轉額又使應收賬款減少（記“應收賬款”科目貸方），那么應收賬款累計貸方發生額可以說是非常準確的應收賬款周轉額了，所以應收賬款周轉率的分子應為年度（一定時期）應收賬款累計貸方發生額。考慮到取數的方便，可作相應的變通處理。由“期初余額＋本期借方發生額－本期貸方發生額＝期末余額”等式可推出：應收賬款回收額＝本期貸方發生額＝期初余額＋本期借方發生額－期末余額公式（1）。
2.對分母的改進
應收賬款周轉率指標的分母即應收賬款凈額來自于資產負債表，是一個靜態的時點存量，容易受偶然性、季節性等外部因素和人為的內部因素影響，甚至可能發生巨大的期間波動。因此，使用該指標進行業績評價時，為了減少這些因素的影響，最好使用多個時點的平均數，而不采用年初和年末的應收賬款余額。具體方法如下:
根據統計學原理，按月根據時點數列序時平均數法計算年應收賬款年平均余額，以減弱會計報告期異常波動的影響，根據應收賬款總賬所提供的年初及每月末余額，那么:
加權年平均應收賬款余額=（X0+X1+X2．．．．＋X11+X12）/12公式（2）。其中X0，X1……X11，X12代表年初和1月……11月、12月的期末余額。
因此，改進后的周轉率公式如下：
三、應收賬款周轉率指標風險比較
計算出應收賬款周轉率指標后，為了使財務報表的外部使用人可以將計算出的指標與其他類似企業的指標相比較，以此判斷該指標的高低并判斷本企業的應收賬款的周轉處于怎樣的一個水平和代表怎樣的風險。因此，筆者試圖以全國醫藥行業總體和同是醫藥行業的豐原藥業(股票代碼:000153)1999年～2006年第一季度的應收賬款周轉率為例子，使用統計學中的離散程度來分析改進后的應收賬款周轉率，以此可以對企業應收賬款周轉率進行比較、判斷，達到改進企業的信用政策的目的。
以下是1999年～2006年全國醫藥行業總體應收賬款周轉率分布圖。
豐原藥業（000153）公司各年應收賬款周轉率
根據統計學中的預期值和樣本標準差的公式，其中樣本數量均為8個(1999年～2006年1Q)分別求出全國醫藥行業總體和豐原藥業的應收賬款周轉率的預期值E，標準差σ和變化系數q，以此來對豐原公司的該指標所代表的風險進行研究和判斷。
A、B、C公司的標準差與變化系數
1.預期值
2.標準差
3.變化系數
從上可以得出，全國醫藥行業總體的應收賬款周轉率為4.1825次，比豐原藥業高出1.9572個點， 但同時該指標代表的風險即標準差1.278257，也是較大的，高出豐原藥業0.582764個點。 全國醫藥行業總體是屬于“收益大，風險也大”的，對于報表使用者來說，應該怎樣解讀這個指標呢？為了解決這個問題，引入了變化系數的概念，它是從相對角度觀察的差異和離散程度，在比較相關事物的差異程度時較之直接比較標準差要好些。該指標是個正指標，指標越小，在其他條件相同的情況下，是可以代表該指標的相對風險較小，如上例中的全國醫藥行業總體的絕對風險比較豐原藥業大（標準差大了0.582764），但相對風險卻較?。ㄗ兓禂敌×?.69%）。這樣的比較，不管是對全國醫藥行業總體，還是豐原藥業來說，對于應收賬款這個指標，都可以做到心中有數，達到管理的要求。
四、結論和展望
眾所周知，應收賬款是營運資金的重要組成部分，它的大小直接影響企業資金的周轉。改進后的應收賬款周轉率指標能夠更好地反映企業從取得應收賬款權利，到轉化為現金所需要的時間，提高了應收賬款指標的可信度。尤其是利用統計學的樣本標準差和標準差系數，排除了絕對額因素影響，使得該指標不但可以較準確地反映應收賬款的周轉情況，還可以在一定范圍進行定量比較，使得企業能夠找出差距，改進管理，提高企業的資金周轉水平。
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[關鍵詞]總體標準差；參數估計；無偏估計；系統誤差；隨機誤差；綜合誤差；測量不確定度；自由度；標準差系數
[中圖分類號]O 212 [文獻標識碼]A [文章編號]1005-6432（2013）10-0023-011
1 引 言
在科學實驗中，測量可分為常量測量和變量測量兩大類。物理量的變化量遠小于測量儀器誤差范圍的測量稱為常量測量（又稱經典測量、基礎測量），其核心理論是誤差理論[1-3]，誤差理論的基本單元是誤差元（測量值減真值）。測量儀器誤差范圍遠小于物理量的變化量的測量稱為變量測量（又稱統計測量），其核心理論是數理統計理論（概率論是其理論基礎），數理統計理論的基本單元是偏差元（又稱離差元，測量值減數學期望）。標準差（standard deviation，又稱標準偏差、均方差，其英文縮寫詞為SD，此術語1893年由卡爾·皮爾遜首創）是用來衡量一組測量數據的離散程度的統計量，它反映了隨機變量的取值與其數學期望的偏離程度。經典測量學只能處理常量測量問題，而當今頻域界的頻率穩定度測量（常用阿倫方差表示）則屬于變量測量。
等精度測量（equally accurate measurement）是指在測量條件（包括測量儀器的準確度、觀測者的技術水平、環境條件影響及測量方法等）不變的情況下，對某一被測物理量所進行多次測量的一種方法。在實際測量工作中，由相同設備、相同人員、相同環境和相同方法所獲得的各測量值可視為是等精度測量值。文獻[4]介紹了流量計量中的計量學基本原則——等精度傳遞理論。
在測量實踐中，有時為了獲得準確度更高的測量結果，往往要求在不同的測量環境條件下，使用不同的測量儀器，選用不同的測量者和不同的測量次數，采用不同的測量方法進行對比測量，這種測量方法稱為不等精度測量（unequally accurate measurement）。不等精度測量的不確定度應采用加權方式計算[5-6]。
若無特別說明，本文中所涉及的測量均指等精度測量。
2 誤差的種類和應用
誤差公理認為誤差自始至終存在于一切科學實驗和測量之中，是不可避免的，即誤差無處不在，真值是不可知的。在實際應用工作中，可用約定真值或相對真值來代替理論概念中的理想真值。約定真值一般包括約定值、指定值和最佳估計值三種類型。
測量誤差最基本的表示方法有如下三種：①絕對誤差=測量值-真值，絕對誤差通常簡稱為誤差（即真誤差）；②相對誤差=絕對誤差/真值≈絕對誤差/測量值；③引用誤差=示值誤差/測量范圍上限（或全量程）。殘差（又稱剩余誤差）=測量值-估計值，殘差可認為是真誤差的估計值。絕對誤差和相對誤差通常用于單值點測量誤差的表示，而對于具有連續刻度和多檔量程的測量儀器的誤差則通常采用引用誤差來表示。
按誤差的特點和性質可將其分為粗大誤差（parasitic error）、系統誤差（systematic error）和隨機誤差（random error）三大類。可消除的粗大誤差（又稱過失誤差，沒有規律可循）應予全部剔除，系統誤差（又稱規律誤差、理論誤差或方法誤差，一個定值或服從函數規律）反映測量的正確度（correctness），隨機誤差（舊稱偶然誤差、不定誤差，服從統計規律，大多數服從正態分布規律）反映測量的精密度（precision），測量的準確度（accuracy，又譯為精確度）則是用綜合誤差（即測量不確定度）來衡量的，有時也用極限誤差來衡量測量的準確度。逐項獲得測量的系統誤差和隨機誤差，采用誤差合成的方法（各系統誤差絕對值相加得系統誤差范圍，各隨機誤差均方根合成則得隨機誤差范圍。系統誤差范圍加隨機誤差范圍可得綜合誤差范圍）合成綜合誤差，它表征了測量結果與真值的不一致程度。
泛指性的“精度”一詞常被用作“精確度（即準確度）”或“精密度”的替代詞，因其并無明確和嚴格的科學定義，故在學術論文中應慎用或棄用。
下面簡要介紹一下隨機誤差所遵循的一些基本統計規律，首先需要介紹中心極限定理：
當測量次數n無限增大時，在真誤差序列中，若比某真誤差絕對值大的誤差和比其絕對值小的誤差出現的概率相等，則稱該真誤差為或然誤差（probable error，又稱概率誤差，它在衡量射擊精密度時尤其顯得重要），記作ρ。
作為精密度的評定指標，中誤差最為常用，因為它反映了真誤差分布的離散程度。
通常以2倍或3倍的中誤差作為隨機誤差的極限誤差（limit error），其置信概率分別是9544%（2σ準則）和9973%（3σ準則）。如果某個誤差超過了極限誤差，就可以認為它是粗大誤差而被剔除，其相應的測量值應舍棄不用。
對于某個測量值，通常采用相對中誤差（即中誤差和測量值之比，又稱相對標準差）配合中誤差來衡量，它能更全面地表達測量值的好壞。
英國物理學家、化學家和數學家瑞利勛爵（Lord Rayleigh，1842—1919）以嚴謹、廣博和精深而著稱，他善于利用簡單的設備做實驗而能獲得十分精確的數據。他因對氣體密度的精確研究并因此參與發現稀有氣體（舊稱惰性氣體）氬而榮獲1904年諾貝爾物理學獎。1892年瑞利在研究氮氣時發現[7]：從液態空氣中分餾出來的氮，其密度為12572 kg/m3，而用化學方法直接從亞硝酸銨中得到的氮，其密度則為12508 kg/m3（現在的最權威數據125046 kg/m3是基于0 ℃和01 MPa時），前者比后者大05117%，因實驗中已排除了粗大誤差的可能，這一差異已遠遠超出隨機誤差的正常范圍（現在通過t檢驗準則可以判定當時瑞利測得的空氣中氮的密度數據是存在系統誤差的）。英國物理化學家和放射化學家拉姆賽（Sir William Ramsay，1852—1916，1904年諾貝爾化學獎獲得者）注意到這個問題并要求與瑞利合作對此問題展開共同研究，最終他們利用光譜分析法于1894年8月13日發現了第一種稀有氣體─氬（Ar）。氬元素的發現是科學家們注意測量結果中的微小誤差（實際上是系統誤差）而取得重大科學發現的經典范例，是名副其實的“第三位小數”的勝利[8]。隨后，其他稀有氣體氦（He，1895年3月）、氪（Kr，1898年5月）、氖（Ne，1898年6月）、氙（Xe，1898年7月）、氡（Rn，1899年，繼釙Po、鐳Ra和錒Ac之后第4個被發現的天然放射性元素）陸續被拉姆賽等人所發現，稀有氣體的發現完善和發展了俄國化學家門捷列夫（1834—1907）的元素周期表（1869年）。
3 統計量的概率分布類型
離散型統計量服從的概率分布類型主要有：①退化分布（又稱單點分布）；②伯努利（瑞士數學家，Jocob Bernoulli，1654—1705）分布（又稱兩點分布）；③二項分布：包括超幾何分布（又衍生出負超幾何分布）、β-二項分布和離散均勻分布；④泊松分布：包括帕斯卡（法國數學家和物理學家，Blaise Pascal，1623—1662）分布（又稱負二項分布）和幾何分布；⑤對數分布等。
隨機誤差大多服從正態分布或標準正態分布，服從正態分布的隨機誤差具有單峰性、對稱性、有界性和抵償性。正態分布是隨機誤差遵循的最普遍的一種分布規律，但不是唯一的分布規律。隨機誤差服從的常見非正態分布（又稱偏態分布）主要有：①均勻分布（又稱矩形分布、等概率分布）；②伽馬分布（Γ-分布）：包括指數分布（兩個相互獨立且都服從指數分布的隨機變量之和服從廣義指數分布）、厄蘭（丹麥數學家和統計學家，Agner Krarup Erlang，1878—1929）分布和τ-分布（χ2-分布是其特例）等特例；③χ-分布：包括反射正態分布、瑞利分布和麥克斯韋（英國物理學家和數學家，James Clerk Maxwell，1831—1879）分布等特例，廣義瑞利分布又稱萊斯（美國通信理論專家，Stephen " Steve" Oswald Rice，1907—1986）分布（Rice distribution or Rician distribution），當v=0時萊斯分布退化為瑞利分布；④貝塔分布（B-分布）；⑤F-分布：1934年美國數學家和統計學家斯內德克（George Waddel Snedecor，1881—1974）首創，為彰顯英國統計學家和遺傳學家費歇爾（Sir Ronald Aylmer Fisher，1890—1962，方差分析的發明者）的貢獻，后來以其名字命名；⑥t-分布（又稱學生氏分布）：1908年由英格蘭統計學家戈塞特（William Sealy Gosset，1876—1937）首創，因他以Student為筆名而得名；⑦對數正態分布；⑧極值分布：包括重指數分布和威布爾（瑞典數學家，Ernst Hjalmar Waloddi Weibull，1887—1979）─格涅堅科分布（參見本文第73節“極差法”）等；⑨柯西（法國數學家，Augustin Louis Cauchy，1789—1857）分布；⑩辛普森（英國數學家，Tomas Simpson，1710—1761）分布（又稱三角形分布）等。此外還有反正弦分布、截尾正態分布、雙峰正態分布、梯形分布、直角分布、橢圓分布和雙三角分布等。多維概率分布則主要有：①多項分布；②均勻分布；③n（n≥2）維正態分布等。
因彼得斯公式法、極差法、最大誤差法、最大殘差法和最大方差法均只給出了正態分布下的標準差估計的系數因子，故它們一般不適用于非正態分布時的情形。
4 統計推斷
統計推斷是指根據隨機性的觀測數據（樣本）以及問題的條件和假設（模型），對未知事物作出的、以概率形式表述的推斷。統計推斷是由樣本的信息來推測總體（又稱母體）性能的一種方法，它是數理統計學的主要任務，其理論和方法構成數理統計學的主要內容。統計推斷分為參數估計和假設檢驗兩大類問題。參數估計是假設檢驗的前提，沒有參數估計，也就無法完成假設檢驗。
41 參數估計
運用從總體獨立抽取的隨機樣本對總體分布中的未知參數做出估計，稱為數理統計學上的參數估計，它是統計推斷的一種基本方法。參數估計方法主要分為點估計法（根據樣本構造一個統計量，用以對總體參數進行估計）和區間估計法（又稱范圍估計法，主要是根據置信度求置信區間）兩大類。點估計構造統計量（估計量）的常用方法有：①順序統計量法（又稱次序統計量法）：主要包括最大順序統計量法和最小順序統計量法兩種。②貝葉斯法（又稱貝葉斯公式、逆概率公式、事后概率公式或原因概率公式）：1763年英國統計學家貝葉斯（Thomas Bayes，1702—1761）在其遺作《論有關機遇問題的求解》一文中首先提出。③最小二乘估計法（又稱最小平方估計法）：它可使殘差的平方和為最小，1795年德國數學家、天文學家和物理學家高斯（Johann Carl Friedrich Gauss，1777—1855）首先提出其方法，1806年法國數學家勒讓德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）首先用公式表示出最小二乘原理，1900年由俄國數學家馬爾科夫（Andrey Andreyevich Markov，1856—1922）加以發展。④矩估計法（又稱矩法估計、數字特征法）：以樣本矩的某一函數代替總體矩的同一函數來構造估計量的方法稱為矩估計法，1894年英國數學家和統計學家卡爾·皮爾遜（Karl Pearson，1857—1936，被譽為“現代統計學之父”）首先提出。一個樣本可確定一個經驗分布函數，由這個經驗分布函數可確定樣本的各階矩。稱統計量S=1nni=1Xi為子樣一階原點矩（簡稱一階矩，即子樣均值）；稱統計量Sk=1nni=1Xki為子樣k階矩；稱統計量S=1nni=1（Xi-）2為子樣二階中心矩（即子樣方差）；稱統計量Sk=1nni=1（Xi-）k為子樣k階中心矩。⑤最小χ2法：χ2檢驗由卡爾·皮爾遜于1900年首先提出，故χ2統計量又稱皮爾遜公式。⑥最大似然估計法（maximum likelihood estimation method，又稱極大似然估計法）：一種重要而普遍的統計量估計方法，其基本思想始于1821年高斯提出的誤差理論，1912—1922年英國統計學家和遺傳學家費歇爾首先將其應用于參數估計并證明了它的一些性質[9-10]，其后他在工作中加以發展并使其臻于完善[11]。該估計方法在統計推斷中無須有關事前概率的信息，克服了貝葉斯法（Bayes estimation method）的致命弱點，是統計學史上的一大突破。標準差σ的最大似然估計值是=1nni=1（xi-）2=1nni=1v2i， 其中=1nni=1xi。與最大似然估計法相類似的統計估計方法還有極小極大后驗估計法、最小風險法和極小化極大熵法等。
常用于衡量點估計法是否優良的五大準則是：無偏性[12]、有效性、一致性（又稱相合性）[13]、漸近性和充分性。無偏估計和一致估計（又稱相合估計、相容估計）都屬于優良點估計法。衡量區間估計法的優良準則有一致最精確準則、一致最精確無偏性準則和平均長度最短準則等。如果把參數估計用于統計決策，還可采用統計決策理論中的優良準則（如容許性準則、最小化最大準則、貝葉斯準則和最優同變性準則等）。
標準差的現代統計估計方法通常可將其歸納為一般估計方法和穩健估計（robust estimation，又稱抗差估計）方法兩大類[14]。一般估計方法（均屬標準不確定度分量的A類評定方法）主要包括貝塞爾公式法、彼得斯公式法、極差法、最大誤差法、最大殘差法、較差法和最大方差法等，其中貝塞爾公式法最為常用，極差法、彼得斯公式法和最大殘差法次之，最大誤差法特別適用于比較特殊的場合（如一次性破壞實驗等），較差法和最大方差法的應用場合則相對較少。穩健估計方法基本上可分為三類：M估計（經典最大似然估計法的推廣，稱為廣義最大似然估計法）、L估計（即順序統計量線性組合估計）和R估計（即秩估計，來源于秩統計檢驗）。
估計量的數學期望等于被估計參數，則稱其為無偏估計，否則就是有偏估計。無偏估計的系統誤差為零，其誤差用隨機誤差來衡量；有偏估計的誤差則用系統誤差和隨機誤差的合成（即綜合誤差）來衡量。如今，隨著計算機的日益普及和各類數學統計軟件（包括專用數學統計軟件，如SPSS、SAS和BMDP等）的廣泛應用，數據計算繁瑣一些已無技術障礙可言。實驗測量數據的獲得都要付出一定的人力、物力和財力，追求其準確可靠才是其最高目標，因此有偏估計的系統誤差應盡可能地予以剔除。對于無偏估計來說，其統計量的方差越小則越好（表示其精密度和有效性越高）。
42 假設檢驗
假設檢驗（又稱顯著性經驗、統計檢驗）一般分為參數檢驗（適用于總體分布形式已知的情形）和總體分布類型檢驗（又稱分布擬合檢驗）兩大類。參數檢驗方法主要有u檢驗法（又稱z檢驗法，即正態分布檢驗法）、t檢驗法、χ2檢驗法（又稱皮爾遜檢驗法）和F檢驗法（又稱費歇爾檢驗法）等；總體分布類型檢驗方法主要有概率紙法（包括正態概率紙、對數正態概率紙、威布爾概率紙和二項概率紙等）和χ2檢驗法（適用于任意分布）等。在正態性檢驗法中，以夏皮羅（美國統計學家，Samuel Sanford Shapiro，1930—）─威爾克（加拿大統計學家，Martin Bradbury Wilk，19221218—）檢驗法（1965年，又稱W檢驗，適用于樣本數n≤50時的情形）[15]、達戈斯提諾（美國生物統計學家，Ralph BDAgostino， Jr，19290331—20010818）檢驗法（1971年，又稱D檢驗，一種比較精確的正態檢驗法）[16]和夏皮羅─弗朗西亞（Shapiro-Francia）檢驗法（1972年，又稱W′檢驗，適用于樣本數50 兩個樣本是否來自于同分布總體的假設檢驗方法主要有符號檢驗法和秩和檢驗法等。
當未知總體標準差σ時，判別粗大誤差的準則（即異常數據取舍的檢驗方法）主要有：①格拉布斯準則：1950年由美國統計學家格拉布斯（Frank Ephraim Grubbs，1913—2000）首創[18]，并于1969年加以發展[19]；②狄克遜準則（又稱Q檢驗準則）：1950年由美國統計學家狄克遜（Wilfred Joseph Dixon，1915—2008）首創[20]，并于1951年和1953年加以改進[21-23]；③偏度─峰度檢驗準則：偏度檢驗法適用于單側情形，峰度檢驗法則適用于雙側情形[24]；④羅曼諾夫斯基準則（又稱t檢驗準則、3S檢驗準則）：前蘇聯數理統計學家、塔什干數學學派創始人羅曼諾夫斯基（Vsevelod Ivanovich Romanovsky，1879—1954）首創，其檢驗效果最好[25]；⑤3σ準則：僅早期采用，只適用于大樣本數時的情形，因其理論上欠嚴謹且樣本數n
估計標準差s=1n-2ni=1（y-）2主要應用于回歸分析和假設檢驗中[34]。
5 測量不確定度
測量不確定度（measurement uncertainty，簡稱不確定度）是測量結果帶有的一個非負參數，用以表征合理地賦予被測量值的分散性。它是說明測量水平的主要指標，是表示測量質量的重要依據。不確定度越小，測量結果的質量就越高，使用價值就越大?！安淮_定度”一詞起源于1927年德國理論物理學家和哲學家海森堡（Werner Karl Heisenberg，1901—1976，1932年度諾貝爾物理學獎獲得者）在量子力學中提出的不確定度關系，即著名的測不準原理（uncertainty principle）。自國際計量委員會CIPM（法文Comité International des Poids et Mesures）授權國際計量局BIPM（法文Bureau International des Poids et Mesures）于1980年10月提出《實驗不確定度表示建議書INC-1》（1992年被納入國際標準ISO 10012，1997年和2003年分別予以修訂，中國國家標準GB/T 19022—2003等同采用ISO 10012 ∶ 2003[35]）以后，經過30多年的研究和發展，現代不確定度理論現已形成較為完整的理論體系。
根據2008年版《測量不確定度表示指南》（GUM=Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）中的規定：不確定度可以用測量結果的標準差（即標準不確定度，它具有可傳播性。當一個測量結果用于下一個測量時，其不確定度可作為下一個測量結果不確定度的分量，這就是不確定度的可傳播性）表示，也可以用標準差的倍數或說明其置信水平區間的半寬度（即擴展不確定度expanded uncertainty，曾譯為延伸不確定度、伸展不確定度）表示。無論采用哪種方法，都需要獲得標準差的數值。
不確定度一般由若干分量組成，其中一些分量可根據一系列測量值的統計分布，按不確定度的A類評定方法進行評定（標準不確定度基于統計方法所進行的評定稱為A類評定，又稱統計不確定度），并用實驗標準差（即有限次測量時總體標準差的估計值，又稱樣本標準差、子樣標準差，主要應用于抽樣推斷和假設檢驗中）和自由度表征（必要時應給出其協方差）。而另一些分量則可根據經驗或其他信息假設的概率分布，按不確定度的B類評定方法進行評定[標準不確定度基于非統計方法（技術規范、實踐經驗和科學知識等）所進行的評定稱為B類評定，又稱非統計不確定度]，也用實驗標準差表征（必要時應給出其協方差），一般情況下可以不給出其自由度。
貝塞爾公式法和極差法是兩種主要的標準不確定度分量的A類評定方法[36-43]，其中文獻[39]給出的結論是：①當A類評定不確定度分量不是合成標準不確定度中唯一占優勢的分量時，則無論測量次數多少（筆者注：因合成時采用方差相加的方法），（修正前）貝塞爾公式法優于極差法。②當A類評定不確定度分量是合成標準不確定度中唯一占優勢的分量時，則兩種方法的優劣與測量次數有關：當測量次數n10”則更為準確），（修正前）貝塞爾公式法優于極差法。
標準不確定度分量的B類評定方法主要有倍數法、正態分布法、均勻分布法（修約誤差、修約前的被修約值、數字儀表的量化誤差等均服從此類分布）、反正弦分布法、二點分布法、梯形分布法、三角分布法和投影分布法等[44-46]，它更多的是依賴于經驗的積累和判斷。B類評定方法常應用于計量基準標準、儀器研制和在無法對比測量的情況下。
不確定度報告應該包括測量模型、估計值、測量模型中與各個量相關聯的測量不確定度、協方差、所用的概率密度函數的類型、自由度、測量不確定度的評定類型和包含因子等。
在實際應用工作中，有效數字的正確取位十分重要，但這個問題卻往往被忽視。測量結果總是以數字形式出現的，而能準確反映測量結果的是其有效數字。有效數字的末位數總是由下一位數進位或舍去而得來的，這就是數字修約。有效數字的定義是：一個數的修約誤差不大于其末位數的半個單位，則該數的左邊第一個非零數字起至右邊最末一位數字都是其有效數字。不確定度的有效數字只能取1位或2位[47-49]。
6 自由度
自由度（degrees of freedom）的定義是：在方差的計算中，和的項數減去對和的限制數[36，50]。自由度反映了實驗標準差的可信賴程度，自由度越大，實驗標準差的可信賴程度就越高。由于不確定度是用標準差來表征的，故自由度可用于衡量不確定度評定的質量，它也是計算擴展不確定度的依據。當對標準差σ取A類評定的標準不確定度s的值時，不確定度的自由度計算公式為[46]：
式（6-1）是自由度估計值的計算公式（此估計值與理論值相比偏小，隨著樣本數n的增大，其估計值越來越接近于理論實際值），其中D（X）/E（X）為統計量X的相對標準差，u（x）為被測量x的標準不確定度，u[u（x）]為標準不確定度u（x）的標準不確定度。顯然，自由度與標準不確定度的相對標準不確定度有關，即自由度與不確定度的不確定度有關，或者說自由度是一種二階不確定度。
不確定度是測量結果的一個參數，而自由度則是不確定度的一個參數，它表征了所給不確定度的可信賴程度。算術平均值標準差的自由度和單次測量標準差的自由度是相同的。
自由度具有尺度變換下的不變性（即隨機變量乘以非零常數，其自由度不變）。對于合并樣本標準差，其自由度為各組自由度之和，即v=m（n-1）。當用測量所得的n組數據按最小二乘法擬合的校準曲線確定t個被測量值時，其自由度v=n-t；若t個被測量值之間另有r個約束條件，則其自由度v=n-t-r。
各種估計總體標準差方法的自由度如下表所示。
每個不確定度都對應著一個自由度，按A類評定的標準不確定度分量的自由度就是實驗標準差的自由度。合成標準不確定度uc（y）的自由度稱為有效自由度veff，它說明了評定uc（y）的可信賴程度，veff越大，表示評定的uc（y）越可信賴。一般情況下，按B類評定的標準不確定度分量可以不給出其自由度。但在以下情況時需要計算有效自由度veff：①當需要評定擴展不確定度Up為求得包含因子kp時；②當用戶為了解所評定的不確定度的可信賴程度而提出此要求時。
7 標準不確定度的A類評定方法
標準差是評定測量結果精密度的一個極其重要的參數，關于各種估計總體標準差統計方法的精密度分析，前人已多有研究[52-56]，但都缺乏深度和廣度，其系統性和準確性也不夠（有時甚至出現一些差錯和遺漏，詳見下文中的相關描述）。下面筆者將詳細闡述各種估計總體標準差統計方法的由來和原理，嚴謹推導出其標準差系數的計算公式，力圖以科學、嚴謹和求實的態度，分別對其系統地做出全面而準確的評介、對比和分析。
71 貝塞爾公式法
貝塞爾公式法（Bessel formula method）[57-63]是一種最為常見的估計總體標準差的統計方法。根據nj， k=1j≠kδjδk=0來推導貝塞爾公式長期以來被一些學者所認同，現已證明其為偽證[64-65]。筆者現根據誤差理論、概率論和數理統計學中的基礎知識，從誤差和標準差的本質和作用入手，利用數學期望和方差公式，采用算術平均值的標準差來推導出貝塞爾公式。
n次測量值的算術平均值為：=1nni=1xi
算術平均值是μ的一致最小方差無偏估計，且不存在比它一致性更好的其他估計量。
德國天文學家和數學家貝塞爾（Friedrich Wilhelm Bessel，17840722—18460317）是天體測量學的奠基人之一，以其專著《天文學基礎》（1818年）為標志發展了實驗天文學，他重新訂正布拉德雷（英國天文學家，James Bradley，1693—1762）星表并編制基本星表（后人加以擴充后成為《波恩巡天星表》），測定恒星視差（1838年）并預言暗伴星的存在，導出修正子午環安裝誤差的貝塞爾公式[即式（71-4）]，導出用于天文計算的內插法貝塞爾公式（此式中的系數被稱為貝塞爾系數），編制大氣折射表并導出大氣折射公式。首創貝塞爾歲首（又稱貝塞爾年首）、貝塞爾假年（又稱貝塞爾年）、貝塞爾日數（又稱貝塞爾星數）和貝塞爾要素等概念，沿用至今。其研究成果還有貝塞爾方程（1817—1824，一類二階常微分方程）、貝塞爾不等式（1828年）和貝塞爾地球橢球體（1841年）等。1938年2月24日發現的國際編號為1552（1938DE）號的小行星后被命名為“貝塞爾星（Bessel）”，這是對他最好的紀念和褒獎。
貝塞爾方程兩個獨立的解分別稱為第一類貝塞爾函數Jn（x）和第二類貝塞爾函數Yn（x），Hn（x）=Jn（x）±iYn（x）則稱為第三類貝塞爾函數，其中第二類貝塞爾函數又稱為諾伊曼（Carl Gottfried Neumann，1832—1925）函數或韋伯（Heinrich Martin Weber，1842—1913）函數，第三類貝塞爾函數又稱為漢克爾（Hermann Hankel，1839—1873）函數。諾伊曼、韋伯和漢克爾均為德國數學家。
在規范化的常規測量中，若在重復性條件下對被測量X作n次測量，并且有m組這樣的測量結果，由于各組之間的測量條件可能會稍有不同，因此不能直接用貝塞爾公式對總共m×n個測量值計算其實驗標準差，而必須計算其合并樣本標準差（又稱組合實驗標準差）[77]，即：
上式中，xjk是第j組第k次測量值，j是第j組n個測量值的算術平均值。
當各組所包含的測量次數不完全相同時，則應采用方差的加權平均值，權重（即自由度）為（nj-1），此時的合并樣本標準差為：
上式中，nj是第j組的測量次數，s2j是第j組nj個測量值的樣本方差。
在一些常規的日常校準或檢定工作中，采用合并樣本標準差往往會取得良好的效果[79-81]。
以下選用最為常用的修正前后貝塞爾公式法作為其他各種估計總體標準差統計方法的比較基準。
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1考試成績的分布形態（規律）
保證考試質量是數學活動中不容忽視的重要組成部分。如何提高考試質量,不僅應在試前對試卷質量進行預測分析,更應結合試后考試成績分析作出最終評價。用學生的考試成績可以定量對命題質量進行評價與分析。觀察統計學生考試成績的直方圖,其分布大致可分為5種情形:(1)單峰且對稱、單峰大體對稱;(2)單峰但峰值向左移;(3)單峰但峰值向右移;(4)雙峰或多峰;(5)大體上可以一個平臺型為代表等等。如果把這5種情形的直方圖外廓線描出,則大致為如圖所示幾種情形的曲線。
2學生成績正態分布曲線分析
根據教育學與統計學的理論，一次難度適中信度可靠的考試，學生的成績應接近正態分布。也就是說，當學生的成績接近于正態分布時，則說明此次考試基本達到了教學要求。判斷成績是否接近正態分布，最直觀，最有效的方法是將成績分布曲線與均值和方差相同的正態分布曲線加以比較。當然，學生成績呈現正態分布是理想化狀態?？荚嚦煽兺耆收龖B分布有一定的困難，也不現實。但我們要以正態分布為標準模式，加以對比，找出不足。
利用教育統計學研究發現，對于難度適中、客觀有效的考試成績一般都符合正態分布，且平均分在75分左右，標準差在9 ― 5之間。因此,我們有理由使用各種高級統計方法處理考試分數,以挖掘更多的教育信息?？荚嚦煽兪强忌降姆从?，同時考試成績分布是否正態分布反映了命題質量。根據正態分布曲線呈現的形態，可以進行考題相對難度分析。
平均成績的差異引起曲線的水平位置變化，平均成績偏低，如低于65分說明試卷難度較大；而偏高在90分以上說明試卷難度太小。若學生成績分布屬附圖(1)所示的形態,這表明試卷命題的質量是比較好的.這里又有兩種情形:在標準差不變的情況下隨著平均分數的增加曲線向右移說明考生答題逐漸輕松；相反，隨著平均分數的減小說明考題逐漸變難，學生成績逐漸降低。在學生和教師工作正常情況下，題目越容易曲線越向右移。在平均分不變的情況下,標準差較小如低于6，成績分布較集中，正態分布曲線呈陡峭型狀態說明試卷區分度太小，表示中等難度試題所占比重太大；標準差較大如大于9，成績分布較平坦，試卷區分度太大，則表示中等難度試題偏少。
若學生成績分布屬附圖(2)所示形態, 即負偏態分布說明難度較大的試題比例偏高，表明試卷題目偏難;若學生成績分布屬附圖(3)所示的形態, 即正偏態分布說明難度較小的試題比例偏重，則表明試卷題目偏易。若學生成績分布屬附圖(4)或附圖(5)等所示的形態,則表明試卷的命題質量不好,隨意性較強,這樣的試卷成績不能很好地測量出學生對所學知識掌握情況。
3正態分布應用的結論
考題相對難度是指考題從整體上講相對考生其難易程度的合理性,用學生成績的平均分數衡量考題相對難度應是合理、可行的。對于高校結業類型的考試,經統計平均分數在77分附近時,考題相對難度是適中的。通過確定恰當的偏離度等級標準,對試卷做出試題難度相對學生①考題合理、②考題稍偏易或稍偏難、③考題較易或較難、④考題過易或過難、⑤考題難度不合理的5個等級判斷。
綜上所述，考試成績符合正態分布是說明考題命題合理的條件，也是衡量考試質量的一個客觀標準?？荚嚨闹匾δ苤皇切畔⒎答? 考試分數的分布形態里蘊含著豐富的教學信息。對考試分數的統計處理可以得出大量有價值的教學信息,據以評價教學、改進教學和進行教學研究。進一步分析發現,正態性較弱的課程有這樣一些特點:考試分數出現了“極值”(特小值),或者是中間分數段分數的頻數太小,或者是尾端頻數略高。所以根據正態分布曲線呈現的狀態，可以評價試卷的難易程度，為評價試卷命題質量提供數據資料。進而調整教學進度，改進教學方法。
T檢驗，主要用于樣本含量較小，總體標準差未知的正態分布。
t檢驗分為單總體檢驗和雙總體檢驗。
單總體 檢驗是檢驗一個樣本平均數與一已知的總體平均數的差異是否顯著。
雙總體 檢驗是檢驗兩個樣本平均數與其各自所代表的總體的差異是否顯著。
適用條件:
1、已知一個總體均數。
2、可得到一個樣本均數及該樣本標準差。
社會學、社會工作等專業本科生畢業后進入企事業單位，并不要求他們具有很強的數理分析能力，而更需要他們利用統計學知識解決實際問題。高校擴招使學生的就業壓力空前的大，要求學校的辦學方向和重點以培養學生的動手實踐能力為主。隨著大數據時代到來和社會調查的日趨成熟，很多用人單位也非常看重應聘者對統計分析和統計軟件的掌握程度。
筆者長期擔任《社會統計學》教學，發現大部分學生為文科生，數學基礎差，課程負擔重，如何增強學生利用所學統計學知識，解決實際生活尤其是走出校園參加工作后學以致用是當前課程教學改革的重點和難點。
一、當前社會統計學教學存在的問題
（一）教學內容的針對性不強
一本高質量的《社會統計學》教材，既需要像數理統計一樣，講清講透基礎統計學原理和知識，又要明晰研究內容和研究對象，闡釋清楚與其他應用統計學的區別。而當前的《社會統計學》主流教材，都存在側重于其中一方，能夠做到兩方面兼顧得很好的教材幾乎沒有。如目前高校使用量較大的教材有盧淑華的《社會統計學》，偏重于數理統計的理論推導，蔣萍的《社會統計學》盡管對研究對象有清晰的定位，但是需要學生具有一定的數理基礎。目前的統計學教學中一般采用理論講解為主的教學模式，教師主要依托教材，對與統計學相關理論和方法逐一進行介紹，對涉及到的公式和定理進行推導。因此，當前社會統計學最需要解決的問題就是盡快編撰一本如何將統計學知識運用到具體的社會問題研究或者實踐中去的優秀教材。
（二）教師的水平參差不齊
目前不少院校的社會統計學教師隊伍主要來源于兩塊，一是外聘數理統計學的教師教授《社會統計學》課程，這些老師上課更多的偏重理論講解和推導，讓學生掌握比較扎實的基礎統計學知識。由于他們對社會學、社會工作等文科專業不熟悉，課堂講解中不能結合專業領域內的社會調查和案例來分析講解。導致學生學習起來壓力大，覺得枯燥無味，在面對社會現象時不知道怎么利用所學統計學知識分析和闡釋社會現象。二是社會學專業背景老師講授《社會統計學》，這些老師由于沒有系統接受過數理統計學的訓練，對于統計學的數理部分往往一知半解或者干脆略過，教學中更多的偏重例題分析和軟件的使用。
（三）學生的學習態度不端正
學習社會統計學的學生多為文科生，在進入大學前，就是因為對數學等學科的害怕才選擇報考文科專業。而統計學需要一定的概率論和微積分等數學基礎，所以學生一看到社會統計學中涉及的數學知識就頭疼，認為自己很難學好，產生先入為主的畏難心理，對自身的學習能力信心不足，缺乏動力，提不起興趣，部分學生甚至在遇到困難時主動放棄統計學的學習。學生認識不到社會統計學與其它應用統計學相比，有其自身特點：研究對象為人類行為、政治文化等社會現象；所需具備的數理知識要求相對較低，更側重于對統計結果的理解和解釋；社會統計中收集到的資料，往往很多是低層次的變量，如定類、定序變量。因此，定類、定序變量統計分析在社會統計學中占有很大的比重，討論變量之間的關系，如列聯表、列聯強度，相關關系的測量是學習的重點。
二、以就業為導向的《社會統計學》教學改進措施
（一）統計思維改進法
1、統計無用論向統計實用論的轉變
社會統計學作為一門定量分析工具，是社會科學科學性的實現工具，尤其是隨著中外學術交流的加強和規范化，近些年高級統計學的發展，統計學在社會科學的發展中扮演著越來越重要的角色。學好統計學對于本科生考研或者將來從事學術研究，都是必不可少的知識，尤其是社會學、社會工作、公共管理等專業的考研，社會統計學是必考科目，也是導師特別看重的學生必備能力之一。二是社會統計學作為一門實用性很強的工具，現在很多企業、調查公司等在招聘的時候非?？粗貞刚呓y計學的知識和能力，熟練掌握和應用EXCEL、SPSS、STATA、SAS等統計分析軟件，可以極大增加就業機會和就業籌碼。
2、教學過程中的定量思維與定性思維的結合
社會統計學作為定量分析工具，需要學生具有較強的數學分析思維和邏輯思維，所以統計學中有大量的公式和推導過程。作為教師，在教授過程中在講清楚原理和推導過程的同時，需要根據文科學生的特點，用定性的話語和思維解釋清楚來龍去脈。
例如對于標準分的理解，盧淑華是這樣解釋的：“標準分Z的意義在于它是以均值為基點，以標準差σ為量度單位，計算x取值距離標準差的距離，以便進行不同的μ和σ之間進行比較?！辈煌淖兞恳话阌胁煌木岛蜆藴什睿y計上，不同的均值和標準差是不能互相比較的。例如甲乙兩名學生在兩個不同的班級考了同一門《社會統計學》課程，他們的成績如下：甲同學考了80分，乙同學考了90分。已知甲班《社會統計學》的平均成績是70分，標準差是10分；乙班《社會統計學》的平均成績是70分，標準差是20分。請問甲乙同學在本班中誰的成績更好？通過標準分計算，兩者的標準分都是1，說明兩名同學在班級的成績排名是一樣的。經過定性的案例分析講解，學生就能明白為什么曾經一度在高考中引入標準分的原因了，以使不同考區的學生以相對公平的分數被錄取。
3、數理思維向理解思維的轉變
實質上，學習統計學的過程，就是學習統計思維的過程，而不只是公式的簡單套用和通常的數字計算。統計學有嚴格的前提假設和適用變量層次，是一門量化分析工具，我們在實際運用中，不能為了分析或者所謂的科學性而濫用統計方法，用統計數字代替科學推理，犯了社會學家鄧肯（Duncan）所說的統計至上主義（statisticism）。統計數字會撒謊，正如桑普拉斯所說：“統計未必能夠揭示真實，有時候還可能成為假象的幫兇?！币虼藢τ诮y計學的學習，除了養成良好的統計思維外，還需要我們具有扎實的理論基礎，規范的社會調查研究方法和對統計方法的甄別使用和統計結果的合理解釋。社會統計學課程的學習更看重的是學以致用，用所學知識科學的分析和解釋社會中的現象。正如我們學會游泳前不一定要了解動力學的知識，會使用計算機不一定要先懂得編程一樣，理解計算機的輸入和輸出結果比知道計算機如何計算重要得多。
例如學生對于假設檢驗的原理很難理解，我們可以通過舉例讓學生理解假設檢驗的思路。在航天火箭發射前，沒有任何人能夠事先證明火箭發射是安全的，人們最多只能說，用現有手段沒有發現問題。但是，只要發現一個影響安全發射的問題，那就不能發射。這說明，企圖肯定什么事情很難，而否定卻要相對容易得多。物理學以及其他科學都是在否定中發展的，這也是假設檢驗背后的哲學。假定原假設火箭發射是安全的，即使通過研究假設也無法否定原假設，也不能說明原假設是正確的，就像用一兩個儀器沒有發現火箭有問題還遠不能證明火箭是安全的，但是只要在原假設成立的前提下，出現了小概率事件，我們就認為原假設不成立，那么航天火箭就不能發射。
（二）統計應用推動法
1、開展課外調查活動
引入以“提出問題―分析問題―提出假設―驗證假設”為流程的基于問題的學習方法（Problem Based Learning，PBL）來開展課外調研活動。組織學生以小組為單位，選擇和確定實踐課題，成立以6―7人為一組的若干個項目小組，并選出各組組長。當然，研究課題可以是學生日常生活中所關心的問題，如大學生校園戀愛觀的調查、大學生消費行為調查、學習時間調查、學習成績調查、課余活動、生活習慣、自媒體使用情況調查；也可以是社會生活中的熱門現象，如獨生子女價值觀、二孩生育行為、觀念，貧困人口認定與幫扶等調查。讓學生通過利用所學的社會調查研究方法，科學選題、做好研究設計、設計問卷、選擇合適的抽樣調查方法、收集資料、利用統計軟件分析數據，撰寫調查報告來學習和使用統計學知識分析和解釋社會現象。這樣不僅可以有效解決由于實訓基地、實習經費的限制所帶來的不便，而且這種調查貼近學生生活，容易入手，易于激發其興趣，并且有助于加深對統計學原理的理解，明白統計學就在身邊，與我們的生活息息相關。
2、使用統計軟件法
有針對性的將Excel、SPSS、STATA，SAS等統計應用軟件作為社會統計學課程的實訓內容。在課堂講授時，可以教會學生使用Excel函數、Excel圖表與圖形以及Excel數據透視表來處理常用的統計數據。有條件的話可以安排在計算機房上課或者安排一定量的學時讓學生在計算機房上機操作SPSS等軟件，培養學生運用統計軟件搜集、整理、分析統計數據的能力。
3、加強社會統計學的實習實踐
與當地的政府部門、市場調研公司、市場咨詢公司、專業的調查機構、相關企業建立協作和參與機制。讓學生學會如何開展調查、如何獲取資料、如果統計分析資料，所獲取的統計分析數據是如何指導工廠、企業等單位的生產運作的。例如：學生通過參與公司的市場調查，了解公司的產品是如何定位顧客、細分市場的；參觀地方政府統計部門的日常統計和上報統計報表，了解政府統計是如何進行的；學生參與各社區或者街道的貧困人口統計、人口普查等調查。
（三）統計課程革新法
1、建立完善的社會研究課程體系
社會研究課程體系是指教授學生如何在理論的指導下通過各種科學的方法進行調查與創新性研究的一系列課程。主要包括“社會調查研究方法”、“社會統計學”、“SPSS統計軟件應用”等課程。盡管目前各高校都開設了這幾門課程，但在實際教學過程中，一般都是分學期開設，由不同的老師授課，導致有些內容重復，例如抽樣調查，在“社會調查研究方法”、“社會統計學”中都會涉及，理論學習和實踐脫節，例如“社會統計學”、“SPSS統計軟件應用”分別在不同學期開設。建議高校開設課程進行改革，由固定的老師來講授社會統計研究課程體系，將“社會統計學”、“SPSS統計軟件應用”整合為一門課程，并合理設置理論學習和實踐教學的課時。
2、建立社會統計學案例庫，試題庫
可以從各類教材和國外統計學中收集案例和試題，建立案例庫和試題庫，國外的教材在深入淺出的講解統計學知識上做得很好，例如布萊洛克的《社會統計學》，薩爾金德的《愛上統計學》。在教學過程中增加案例教學，可以更好的使學生理解統計學的基礎知識和原理，了解統計學在現實生活中的應用，提高教學的成效，增強學生的統計運用能力。
關鍵詞： 原始分 標準分 意義 作用 考試成績評價
一、引言
考試是學校教育的一個極為重要的組成部分，是檢查教學質量、評價教師教學水平、檢驗學生知識掌握及能力結構的主要環節。過去評價學生成績時，常常使用原始分數，如認為語文得90分的學生語文學得好，而外語得70分的學生則外語能力較低；再有，同一名學生期末數學得80分，語文得65分，于是認為該生是學理科的材料，文科不好。這些認識是不夠科學的，因為試題的難易程度是決定學生分數的主要因素，題目難，原始分數就偏低；題目容易，原始分數就偏高，從而導致了原始分數之間的不可比性。試題還受區分度大小的影響，因而造成考試的內容不同質、不等效、不可加。由于考試分數或原始分數沒有絕對的零點，也沒有統一的單位，因而不能將一個學生前后多次考試的成績進行比較，不能對不同科目的成績進行比較，難以判斷學生成績的變化趨勢。因此，原始分數得到的信息不夠準確，不科學，用原始分來評價學生的成績缺失公正性和合理性。采用標準分數對考試成績進行分析，就可以克服以上缺點，因此，用標準分比用原始分數評價學生成績更科學、更合理和公正。
二、標準分的定義及計算方法
標準分是由均數和標準差規定的相對地位量。它是統計學中最重要、用途最廣的統計量，標準分的定義為：以標準差為單位標定某一分數離開團體均數的距離。公式為：
z==
式中X為某一原始分數，為N個原始分數的平均數，x-是離均差，即某一分數離開均數的差數，S為標準差，Z即為標準分數，因此標準分數常稱為Z分數。Z分數有正值和負值。當Z為正數時，則X＞；當Z為負數時，則X＜；當Z=0時，則X=。Z分數的絕對值|Z|，表示某分數與在此分布上的平均數的距離，|Z|越大，表示某分數離開均數的位置越遠。計算機（利用Excel表）可以方便地將原始分轉換成標準分。
三、標準分的意義
標準分是一種具有相等單位的量數。它是將原始分數與團體的平均數之差除以標準差所得的商數，是以標準差為單位度量原始分數離開其平均數的分數之上多少個標準差，或是在平均數之下多少個標準差。它是一個抽象值，不受原始測量單位的影響，并可接受進一步的統計處理。其意義在于：
1.標準分的分布與原始數據的分布相同。
2.各科標準分的單位是絕對等價的。無論各科的平均分、標準差怎樣不同，一經轉換成標準分，就形成以平均數為0、標準差為1的統一的、固定不變的標準形式。
3.標準分數值的大小、正負，反映某一考分在全體中所處的位置，它是相對分數。
4.當總體均服從同一分布時，總體的標準分之間具有可比性。
5.用標準分表示的樣本間可以進行算術運算。
因此，標準分在考試成績評價中具有重要作用。
四、標準分的作用
標準分在考試成績評估中的用途很多，一是能夠明確各個分數在總體中的位置；二是能客觀地比較不同學生不同學科的總成績及其優劣；三是可以比較某學生不同學科、與階段的考試成績，正確評價其學習的發展。
（一）能明確各個分數在總體中的位置。
標準分是按正態分布原理而建立的分數制度，其主要特點是：分數不但可以反映考生的水平高低，而且可以直接反映出該分數在全體考生中的位置。
依據Z標準分數的意義，Z分數為0的原始成績是全班的平均分。Z分數大于0的原始成績高于全班的平均分；Z分數小于0的原始成績則低于全班的平均分。也就是說，標準分數值的大小、正負，反映某一考分在全體中所處的位置。以表1為例。
表1是某高校10級商英2班第一學期外語三科期末考試的成績統計。表1中學生01的泛讀得分為34，其泛讀標準分為-1.690，這表明學生01所得的泛讀分數低于全體考生平均數1.690個標準差，在總體的位置靠后；學生02的泛讀得分為65，泛讀標準分為0.158，這表明學生02的泛讀分數高于全體考生平均數0.158個標準差，在總體的位置則靠前。
再如，學生32的精讀和泛讀的原始分數都是73分，這個分數是高還是低？該學生在全體考生中的位置靠前還是靠后？單從原始分數看不出來，因為沒有一個穩定的參照點。若把原始分數轉換成標準分后，該學生在全體考生中的位置則一目了然：該生精讀原始分數為73分，標準分為1.211，高于全體考生平均數，原始分數73分應算較高的成績了；而泛讀的標準分為0.635，接近全體考生平均數，原始分數73分則只算中等成績，由此可見，原始分數很難準確說明分數所反映的考生實際水平，也不能確定分數在群體中的位置。而標準分則可以直接反映出該分數在全體考生中的位置。|Z|越大，表示某分數離開均數的位置越遠。
（二）能客觀地比較不同學生不同學科的總成績及其優劣。
從表1可以看到，若按原始分累計總分，學生09、學生10和學生22的總分都是140，三者學習成績處于并列的位置，沒有優劣或高低之分；但將原始分數轉換成標準分數后，以Z值的總和相比較，學生09的Z總為-1.013，學生10的為-1.189，學生22的為-0.777，則可以看出學生22的成績要比學生09的高，而學生09的成績又比學生10的要高。從“Z總”這一欄，我們可以明確地看到學生22、學生09和學生10在班級成績中的排名分別為第26、第29和第31。三者原始總分相等，沒法比較，但按標準分來分析，他們這幾科的總成績卻有高低之分。
從表1還可以看到，學生07的總分為189，學生28的總分為195，以三科的總分來判定成績的優劣，學生28排第8名，學生07則排第12名。表面上學生28的成績似乎要比學生07的成績好。但是，按原始總分計算只考慮了分值，并沒有考慮各分值在各自總體（即各自科目的分數總體）中的價值，這種考慮是欠妥的。分數的價值應用最佳地位量標準分數來表示。那么將學生07和學生28的三科考分都換成Z值（見表1），以Z值的總和相比較，Z為1.748，而Z為1.433，則可看出學生07的分數價值要比學生28的高。學生07的成績優于學生28，兩者的排名恰與原始分數的排名截然相反。若要推薦優秀生，推薦學生07更為合理。其道理從學生08的泛讀為84分，其Z值為1.291，與學生30的聽力為84分，其Z值為1.775的比較分析可以顯示出來。從原始分數看，同是84分，但由于分別位于不同科目的不同分布中，其價值是不同的。受試題難度和區分度大小的影響，導致了泛讀的“1分”與聽力的“1分”不等值，便造成了這樣的現象：同樣是84分的兩科成績卻反映出兩種高低不同的水平。
上述例子表明，使用原始分數難以對學生的水平進行科學的比較。將原始分數相加得到總分的方法，就好比將100元人民幣加上100元港幣再加上100元美元得到300元一樣，是不能反映三種貨幣在總額中的真實價值的。由此可見，原始分數不具有簡單的可加性，幾門原始成績的總分并不能說明個體在團體中的實際排名，不能確切評價學生成績的優劣，甚至會產生與學生實際水平截然不同的結果。而標準分是以群體的平均分為參照、以標準差為度量單位的一種分數，是在消除考試難度、考生不確定因素產生的抽樣誤差影響，將考試成績（分數制）通過某種變換而得到的具有明確區分、比較特性的考試成績。所以標準分能夠直接比較不同學生不同學科的總成績，能夠客觀、公正地反映各個學生的成績在群體成績中的實際地位或實際排名。
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（三）可比較某學生不同學科與階段的成績，正確評價其學習的發展。
我以某高校某學生第一學年（兩個學期）大學語文與大學英語成績為例來說明這個問題，見表2。
按表2中的原始分數評價，有人認為該生的語文成績有進步，而英語學習有退步。而若將該生的成績標準化后，不難發現，該生的語文成績在班上的相對位置沒有變化，而英語成績第二學期雖比第一學期低7分，但標準分數提高了，說明該生在班上的相對成績有所提高。同樣，若僅看該生的第二學期成績：語文86分，英語80分，不少人會認為該生的語文比英語學得好。但我們從表2中可知，該生的語文成績高于平均成績0.96個標準差，英語成績高出平均成績1.16個標準差，英語成績比語文成績在班上的相對位置高，因而相對來說該生的英語學得較好。所以只憑借原始分數盲目評價學生是不恰當的。如果教師采用標準分數，就可以掌握每個學生學習某科成績發展趨勢，了解學生知識的掌握程度。
五、結語
無論用原始分數比較單科成績還是比較總成績都是不科學的，因為各原始分數分別位于不同科目的不同分布中，價值不同，沒有同一的測量尺度，因而不可加與不可比。標準分是采取統計學的計算方法計算出的一種數據，利用這種計算方法可以避免多次考試因試題量不同及試題難度不同而造成的前面提到的對學生的學習情況評價不確切的情況發生，使課程之間、學生之間、班級之間、年級之間和學校之間具有可比性，可對同一考試各科進行橫向比較，也可對同一學科不同時期的考試縱向比較，找到個體在總體內的位置，從而對全校教學情況一目了然，教學管理也可以做到心中有數。
當前，仍有相當一部分教師用原始分數作為考試成績評價的依據，尚未認識到原始分數的局限性。因而，我認為對標準分數的認同需要宣傳，讓教師更了解標準分的意義和作用，盡快地接受標準分，并運用標準分更好、更科學和更合理地評價學生的考試成績，客觀地了解學生的學習動態，做到有的放矢、因材施教。
參考文獻：
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一、統計資料的來源
東南大學02級、03級、04級、05級、06級男生各4個自然班（平均每班30人），在一年級時立定跳遠的成績，據此計算出各年級平均成績及其標準差。見表1
表1男生立定跳遠平均成績及標準差
二、選擇統計資料的方法
1.項目選擇。本文所選項目是經過與其它身體素質資料對照比較而選擇的，它具有一定的代表性和典型性。
2.資料選擇。本文在收集資料時，最大程度地剔除了原始資料不可靠部分，保留了可信度較高的部分。
三、制定預測評分表
1.求2007年全校男生立定跳遠平均數和標準差的預測值
第一，求2007年全校男生立定跳遠平均數的預測值。本文采用K元線性回歸方程計算預測值。為計算方便，把02年、03年、04年、05年、06年簡寫為1、2、3、4、5。設“Xi”為年份，成績為“Yi”，首先列出Xi和Yi的回歸計算表（見表2）。
表2Xi和Yi的回歸計算表
2007年全校男生立定跳遠平均數預測值的具體計算略，其結果為2.28米。
第二，求2007年全校男生立定跳遠標準差的預測值。數據見表1，2007年全校男生立定跳遠標準差預測值計算的方法和步驟同2007年全校男生立定跳遠平均數的預測值計算，具體計算略。其結果為：S＝0.1362
2.求2007年全校男生立定跳遠60～90分的預測區間
假設低于60分和高于90分的學生各占總數的5%，顯然60～90分之間的人數占90%。查表可知置信概率0.90的預測區間為
若求這個預測區間，可用2007年預測標準差代替剩余標準差。
在回歸方程：的上下兩側分別作一條與回歸直線平行，并符合上述條件的直線，則為取整計算方便，2.053932取2.06，對應60分，2.50對應90分。
3.根據預測采用累進評分法制定2007年全校男生立定跳遠評分表
第一，求累進評分數學模型的拋物線方程
累進評分法的優點在于使分數的累進與成績提高的難度相適應，并能對成績作出較為客觀的評價。其數學模型為
Y=KD2-Z
其中Y為累進分數，K為系數，D為某成績在正態曲線圖橫軸上的位置，Z為基分點以左的分數。把X－1S的位置定為60分，X＋3S的位置定為90分，查D值表知，－1S位置的D＝4，3S位置的D＝8，代入公式得：
90=K.82-ZK=0.625
60=K.42-ZZ=50
代入數學模型得拋物線方程：Y=0.625D2+50
第二，求2007年全校男生立定跳遠成績所對應的D值
把60～90分之間2007年全校男生立定跳遠距離按遞增0.02米進行排列：2.06、2.08、2.10、......2.50，其間隔為22個。
與之對應的D值間隔為：8－4/22＝0.1818。見表3
表3立定跳運成績對應D值表
第三，將表4數值代入拋物線方程：
Y=0.625D2+50
Y2.06=0.625×42+50=60
Y2.08=0.625×(4+0.1818)2+50≈60.93
Y2.10=0.625×(4+2×0.1818)2+50≈61.90
Y2.12=0.625×(4+3×0.1818)2+50≈62.91
中間數值計算省略
Y2.50=0.625×82+50=90
Y2.52=0.625×(4+23×0.1818)2+50≈91.83
Y2.54=0.625×(4+24×0.1818)2+50≈93.71
Y2.56=0.625×(4+25×0.1818)2+50≈95.64
Y2.58=0.625×(4+26×0.1818)2+50≈97.60
Y2.60=0.625×(4+27×0.1818)2+50≈99.60
注：小于2.06的得分略
第四，把上述數據列表，并按四舍五入進行修正。見表4
表4立定跳遠得分表
四、結論與建議
1.本文采用統計學方法，以作者多年積累的學生身體素質資料為根據，以東南大學男生立定跳遠成績為素材，詳細敘述了該項目評分表的制定過程。
2.這種評分表與傳統的評分表相比，更適合學生的實際情況。它為教師提供了把握學生及格率以及平均成績的方法，具有一定的現實意義。
3.本研究采用的累進計分的方法，使學生的最后得分與成績提高的難度相適應，方法更科學，結果更合理。
4.用這種方法，同樣可以再造出其它身體素質評分表，特別對于成績越好，提高難度越大的徑賽項目，具有極高的實用價值。
