時間：2023-03-10 15:05:27
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第21章 二次根式
1．二次根式：一般地，式子 叫做二次根式.
注意：（1）若 這個條件不成立，則 不是二次根式；
（2） 是一個重要的非負數，即； ≥0.
2．重要公式：（1） ,（2） ；
3．積的算術平方根：
積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積；
4．二次根式的乘法法則： .
5．二次根式比較大小的方法：
（1）利用近似值比大小；
（2）把二次根式的系數移入二次根號內，然后比大小；
（3）分別平方，然后比大小.
6．商的算術平方根： ，
商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根.
7．二次根式的除法法則：
（1） ；（2） ；
（3）分母有理化的方法是：分式的分子與分母同乘分母的有理化因式，使分母變為整式.
8．最簡二次根式：
（1）滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，① 被開方數的因數是整數，因式是整式，② 被開方數中不含能開的盡的因數或因式；
（2）最簡二次根式中，被開方數不能含有小數、分數，字母因式次數低于2，且不含分母；
（3）化簡二次根式時，往往需要把被開方數先分解因數或分解因式；
（4）二次根式計算的最后結果必須化為最簡二次根式.
10．同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.
12．二次根式的混合運算：
（1）二次根式的混合運算包括加、減、乘、除、乘方、開方六種代數運算，以前學過的，在有理數范圍內的一切公式和運算律在二次根式的混合運算中都適用；
（2）二次根式的運算一般要先把二次根式進行適當化簡，例如：化為同類二次根式才能合并；除法運算有時轉化為分母有理化或約分更為簡便；使用乘法公式等.
第22章 一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式: a≠0時，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關問題時，多數習題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具體數，也可能是含待定字母或特定式子的代數式.
2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四種解法要求靈活運用， 其中直接開平方法雖然簡單，但是適用范圍較小；公式法雖然適用范圍大，但計算較繁，易發生計算錯誤；因式分解法適用范圍較大，且計算簡便，是首選方法；配方法使用較少.
3. 一元二次方程根的判別式: 當ax2+bx+c=0 (a≠0)時，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判別式.請注意以下等價命題：
Δ＞0 <=> 有兩個不等的實根； Δ=0 <=> 有兩個相等的實根；Δ＜0 <=> 無實根；
4．平均增長率問題--------應用題的類型題之一 （設增長率為x）：
(1) 第一年為 a , 第二年為a(1+x) , 第三年為a(1+x)2.
（2）常利用以下相等關系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=總和.
第23章 旋轉
1、概念：
把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角．
旋轉三要素：旋轉中心、旋轉方面、旋轉角
2、旋轉的性質：
（1） 旋轉前后的兩個圖形是全等形；
（2） 兩個對應點到旋轉中心的距離相等
（3） 兩個對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角
3、中心對稱：
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．
這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．
4、中心對稱的性質：
（1）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分．
（2）關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形．
5、中心對稱圖形：
把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．
6、坐標系中的中心對稱
兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，
即點P（x，y）關于原點O的對稱點P′（-x，-y）．
第24章 圓
1、（要求深刻理解、熟練運用）
1.垂徑定理及推論:
如圖：有五個元素，“知二可推三”；需記憶其中四個定理，
即“垂徑定理”“中徑定理” “弧徑定理”“中垂定理”.
幾何表達式舉例：
CD過圓心
CDAB
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圓或等圓中）
“等角對等弦”； “等弦對等角”；
“等角對等弧”； “等弧對等角”；
“等弧對等弦”；“等弦對等(優，劣)弧”；
“等弦對等弦心距”；“等弦心距對等弦”.
幾何表達式舉例：
(1) ∠AOB=∠COD
AB = CD
(2) AB = CD
∠AOB=∠COD
（3）……………
4．圓周角定理及推論:
（1）圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半；
（2）一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；(如圖)
（3）“等弧對等角”“等角對等弧”；
（4）“直徑對直角”“直角對直徑”；(如圖)
（5）如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.(如圖)
（1） （2）（3） （4）
幾何表達式舉例：
（1） ∠ACB= ∠AOB
……………
（2） AB是直徑
∠ACB=90°
（3） ∠ACB=90°
AB是直徑
（4） CD=AD=BD
ΔABC是RtΔ
5．圓內接四邊形性質定理:
圓內接四邊形的對角互補，
并且任何一個外角都等于它的內對角.
幾何表達式舉例：
ABCD是圓內接四邊形
∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180°
6．切線的判定與性質定理:
如圖：有三個元素，“知二可推一”；
需記憶其中四個定理.
（1）經過半徑的外端并且垂直于這條
半徑的直線是圓的切線；
（2）圓的切線垂直于經過切點的半徑；
幾何表達式舉例：
（1） OC是半徑
OCAB
AB是切線
（2） OC是半徑
AB是切線
OCAB
9．相交弦定理及其推論:
（1）圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的乘積相等；
（2）如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段長的比例中項.
（1） （2）
幾何表達式舉例：
（1） PA·PB=PC·PD
………
（2） AB是直徑
PCAB
PC2=PA·PB
11．關于兩圓的性質定理:
（1）相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦；
（2）如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上.
（1） （2）
幾何表達式舉例：
（1） O1，O2是圓心
O1O2垂直平分AB
（2） 1 、2相切
O1 、A、O2三點一線
12．正多邊形的有關計算:
（1）中心角an ，半徑RN ，邊心距rn ，
邊長an ，內角bn ，邊數n；
（2）有關計算在RtΔAOC中進行.
公式舉例：
(1) an = ；
(2)
二 定理：
1．不在一直線上的三個點確定一個圓.
2．任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓.
3．正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分為2n個全等的直角三角形.
三 公式：
1.有關的計算：
（1）圓的周長C=2πR；（2）弧長L= ；（3）圓的面積S=πR2.
（4）扇形面積S扇形 = ；
（5）弓形面積S弓形 =扇形面積SAOB±ΔAOB的面積.（如圖）
2.圓柱與圓錐的側面展開圖：
（1）圓柱的側面積：S圓柱側 =2πrh； (r:底面半徑；h:圓柱高)
（2）圓錐的側面積：S圓錐側 = =πrR. （L=2πr，R是圓錐母線長；r是底面半徑）
四 常識：
1． 圓是軸對稱和中心對稱圖形.
2． 圓心角的度數等于它所對弧的度數.
3． 三角形的外心 Û 兩邊中垂線的交點 Û 三角形的外接圓的圓心；
三角形的內心 Û 兩內角平分線的交點 Û 三角形的內切圓的圓心.
4． 直線與圓的位置關系：（其中d表示圓心到直線的距離；其中r表示圓的半徑）
直線與圓相交 Û d＜r ； 直線與圓相切 Û d=r ； 直線與圓相離 Û d＞r.
5． 圓與圓的位置關系：（其中d表示圓心到圓心的距離，其中R、r表示兩個圓的半徑且R≥r）
兩圓外離 Û d＞R+r； 兩圓外切 Û d=R+r； 兩圓相交 Û R-r＜d＜R+r；
兩圓內切 Û d=R-r； 兩圓內含 Û d＜R-r.
6．證直線與圓相切，常利用：“已知交點連半徑證垂直”和“不知交點作垂直證半徑” 的方法加輔助線.
第25章 概率
1、 必然事件、不可能事件、隨機事件的區別
2、概率
一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率 會穩定在某個常數p附近，那么這個常數p就叫做事件A的概率（probability）, 記作P（A）= p.
注意：（1）概率是隨機事件發生的可能性的大小的數量反映.
（2）概率是事件在大量重復試驗中頻率逐漸穩定到的值，即可以用大量重復試驗中事件發生的頻率去估計得到事件發生的概率，但二者不能簡單地等同.
3、求概率的方法
現就七年級伊始教學的《絕對值和相反數》談談筆者的看法.
1.什么叫絕對值呀？學生不能理解.絕對值這個定義可不是能隨意篡改的，我們就按照書上說的：“數軸上表示一個數的點與原點的距離叫做這個數的絕對值.”還要再多追問：如果不看數軸，我們可以怎么寫出絕對值？學生會總結出一些適合他們自己記憶的方法.最多的是，純數字部分（就是正數）不涉及正負.再問，為什么都是正的呢？學生們會七嘴八舌的說一些，最具合理性的就是，因為距離沒有負的.絕對的數字，此乃歪解，但是很好記.
2.為什么絕對值的符號是“| |”？怎么能記得住.學生說這多容易呀.一寫起來就不知道絕對值的概念飛到哪里去了.尤其是正負數混雜在一起的時候：有人寫出|+9|=-9；也有求-3的絕對值，寫成-|3|=3.我仔細研究后發現，前一種錯誤，是學生在寫了一些負數的絕對值之后，以為，“| |”要把一個數寫在符號里，就是把符號變一下，所以寫|2.3|=2.3 沒有問題，一上符號就不知所云了；第二種是完全沒有理解| |的含義，內容聽一半，自己腦補一半.
可怎么記住符號呢？我們在數軸上是這樣演示的：
點A在原點O左側且到原點O的距離為3個單位長度，點B在原點O右側且到原點O的距離為2個單位長度.表示-3的點A與原點的距離是3，因此-3的絕對值是3；表示2的點B與原點的距離是2，因此2的絕對值是2；表示0的點O與原點的距離是0，因此0的絕對值是0.
你看，在數軸上OA間的距離我們用“| |”表示這段距離，所以我們選用| |表示絕對值符號.因為是距離，就絕沒有負數的出現.
3.談到|a|=-a（a < 0）， 學生就問了為什么是負的呀？我問a是什么數？一定是正數么？-a一定是負數么？說清楚a沒有條件的情況下可以表示任何數，究其原因學生還不能很好地理解用字母表示數，以及相反數的符號.
那么，導致上述問題的根本原因是什么，數學教學應該注意什么呢？ 學生缺乏獲取數學語言的能力，無法從數學符號中獲得必要的數學信息，無法正確轉化信息是根本原因.一方面，學生不能從數學符號中獲得數學符號意義，也就失去了與教師對話的前提條件，就沒有與教師互動的動機，只能被動地接受、記憶教師的觀點；另一方面，學生不能從數學符號中獲得數學符號意義，就無法向教師表達自己的理解，教師就無法準確把握學生的真實水平，容易造成數學教與學的脫節，導致學不會、做不對現象的發生.那么，是什么原因導致了學生缺乏數學符號意義獲得能力呢？
1.數學教師忽視了數學知識與數學符號的差異，認為只要讓學生記住了教師所講的話語和教材中的符號，掌握了所練的數學題，就完成了教學任務.當數學教師將自己的經驗性知識轉換為陌生的、抽象的、枯燥的數學符號講授給學生時，學生感受到的只是符號的寫法和自己對符號意義的理解.這些言語意義只描述了知識的一個側面或部分，如果學生不能進行認真的反思和體味，很難將數學符號的意義整合為有意義的數學形象.不理解成為必然，學生似懂非懂.
2. 數學教師忽視數學語言與自然語言的差異，不注重學生數學閱讀能力的培養.很多教師認為數學書中的數學符號非常簡單、數量有限，沒有必要進行專門的數學語言教學，學生記住這幾個簡單的數學符號應該沒有問題；也沒有想過將文字語言、符號語言、圖表語言三類在數學意義的表達上是各有特點和優勢的.數學語言符號與自然語言符號有不同的意義表達方式.正是由于數學語言不同于自然語言，而數學教師又忽視數學語言的教學，使學生得不能正確理解數學語言，不能從數學符號中獲得所需要的數學信息，成為很多學生學習數學的最大障礙.
3.數學教師忽視數學知識的結構性，使學生只掌握了一些孤立的知識點，沒有形成系統的認知結構，不利于學生對數學知識的記憶和轉換.數學符號一般有文字、符號、圖表三種表征形式，而數學教師在講課時往往只重視一種形式，導致了學生所學數學知識形式上的“孤立”，無法實現不同符號之間的相互轉換；而教師卻沒有講授這種轉換的方法，更沒有專門培養學生的這種符號結構意識和轉換能力；最后，學生雖然能夠當時聽懂、記住孤立的數學知識和解題方法，但這些知識和方法更多是存儲在短時記憶中，并沒有通過精細加工程序進入到長時記憶中，所以學生會很快忘記所學的知識和所做過的題目.教師不僅沒有指揮學生對所學知識進行精細加工，還給學生布置大量的作業，使得學生把主要精力都用到完成作業上，沒有時間進行反思和自我總結.即使下次遇到的是同樣的題目，學生常常只是保留一點模糊的印象，很難聯想到更多的細節.因此，教師注重知識點的傳授和掌握，忽視新知識點與原有知識點的聯系，是導致做不對的一個重要原因.
一、創設數學問題情境
對數學知識的歸納與推理，往往是以一定的知識經驗為基礎來進行的，通常情況下，根據特殊、具象化的案例進行切入，通過仔細的分析、探究以及思考，歸納出這些經驗的共同點，構成一種理論的猜測，并且對這一猜想進行有效的驗證，使其變成真正的結論，并且能夠對這一知識點進行活學活用。初中生剛剛步入青春期，思維能力較為發達，逐漸具備了一定的形象思維能力，但是其抽象思維能力仍然有待提高。所以，教師在實際教學的過程中，應當結合具體的教學內容與學生的認知能力，創設數學問題教學情境。并且保證這些問題情境能夠貼近于生活，具備一定的趣味性，這樣才能有效的提升學生的學習熱情。學生在問題情境之中學習數學知識，能夠幫助學生有效的歸納出知識點中的共同規律，使學生逐漸具備一定的歸納意識。
例如，在學習北師大版初中數學七年級上冊《有理數極其運算》這一單元時，針對于其中正數與負數的概念問題，教師可以結合學生熟悉度比較高的天氣問題進行問題情境的創設：同學們，今天的我們這一地區天氣預報的氣溫是-4℃至6℃之間，請問同學們，6℃表示什么？-3℃又表示什么呢？我們這一地區的溫差為多少攝氏度呢？這種和天氣相關的問題學生們往往非常熟悉，因此能夠提高課堂學習的專注度。教師也可以將家庭中某個月的收入與花銷表展示給學生，因到學生分析自己家里花銷與收入的情況。在初中數學課堂教學的過程中創設問題情境，能夠使學生感悟生活中存在的數學知識，通過形象思維的形式來歸納正負數的概念，這樣對提升學生的歸納意識具有很大的推動作用。
二、對數學知識的形成過程進行分析
通過前人不斷的歸納與總結，從而總結出了各種各樣的數學定義、公式與概念。初中數學課堂教學的過程中，教師應當為學生提供豐富的學習資源，使學生在歸納總結與思考的過程中具備有效的發揮空間。學生通過對數學知識的形成過程進行深入的分析，這樣才能使學生的歸納意識得到大幅度的提升。
例如，在學習北師大版初中數學八年級上冊《勾股定理》這一部分內容的過程中，教師應當向學生滲透勾股定理的形成過程。上古時期，人們在進行房屋建筑工作的過程中，初步認識到了直角三角形，發展到西周的時候，當時有名的算學宗師商高總結古人的經驗，對勾股定理進行了歸納，也就是勾三股四弦五。通過向學生滲透古人的典故，使學生充分認識到所有的數學公式、定義都是各個時期的人們在生產實踐的過程中歸納總結得出的，是人們智慧的結晶，也是人們對客觀事物的理性、抽象性的理解。教師還可以運用多媒體設備，使學生了解現實生活中需要運用勾股定理的案例，這樣不僅能夠培養學生對知識的應用意識，并且能夠有效的提升學生對數學知識的歸納意識。
三、鼓勵學生自主學習
一、由生活問題趣味引入數學教學
數學與生活有著密切的聯系，生活中到處可見數學問題，學習數學的根本目的是為了解決生活實際問題。在數學課堂上，應用生活問題引入數學問題會讓數學課堂變的有趣起來。以前，老師在課堂上引入數學問題的時候，往往是由枯燥的數學理論引入的，這種陳舊的教學方式不能夠提起學生的興趣，還可能導致整堂數學課的失敗。因此， 在課堂開始的階段，老師應當首先列舉一些生活中的案例，然后向學生提問案例中出現數學問題的地方，并對這個數學問題進行分析，最終將其解決，引入本堂課的教學內容。
以蘇教版初中數學七年級下冊第十章“二元一次方程”為例：課堂剛開的時候，我根據生活中看電影的情景向學生提出一個問題：小王說：“昨天，我們8個人去看電影，買電影票花了34元，每張成人票5元，每張兒童票3元。”問：他們究竟去了幾個成人，幾個兒童？如果學生用以前的方法來計算，只能靠猜的方式來得出答案。然后，我立即向學生引出了二元一次方法來解決這個生活問題。首先，設有成人x個，兒童y個，由題意得x + y = 8， 5x + 3y = 34，將兩個方程聯立，可解得x = 5， y = 3.
利用這種生活趣味問題引入教學內容的方式，學生的思維可以從生活順利過度到數學問題，更容易增加學生的學習動力，讓課堂呈現生機。
二、增加數學游戲，讓課堂活躍起來
學生普遍具有喜歡做游戲的特點，因為游戲具有很強的趣味性。在數學教學中，如果能夠將教學內容以游戲的方式展現出來，可以使本身枯燥無味的數學課堂變的充滿趣味，在做數學游戲的過程中，掌握數學知識，練習數學技能。因此，老師在數學課堂中，應該適當增加數學游戲的部分，這樣不僅不會耽誤學生的課堂時間，也不會延誤正常的教學進度，反而會讓學生感覺到數學是有趣的，更能夠提高學生對于數學教學的參與度，讓課堂真正活躍起來。
以蘇教版初中數學七年級上冊“走進圖形世界”為例：在課堂上，我提出了一個數學的游戲的想法，游戲規則為利用形狀相同或形狀不同的正多變形組合起來鑲嵌成一個固定大小平面的游戲。如，將正三角形整齊排列在一起可以組成一個平面，將正方形排列在一起也能組成一個平面。學生聽到這個想法之后，通過準備剪刀與紙張，立即展開了游戲，所有的學生都積極參與到這種有趣的游戲中來，課堂氣氛異常高漲。這樣的數學游戲操作簡單，且具有十足的靈活性，學生容易產生興趣。在拼湊的過程中，學生需要進行整個平面布置的思考與設計，通過計算分析，再將這些三角形、四邊形或者多邊形拼湊在一起，同時也增強了學生的探索、實踐能力，讓課堂在趣味游戲中煥發生機。
三、角色互換，讓學生變成學習的主人
數學課堂的主體是學生。目前，在數學課堂教學過程中，老師一人演講的教學方式幾乎占到數學課堂的全部。通過這樣被動的方式被動學習的學生，對于知識的掌握難以難以到達孰能生巧的程度。并且，很多學生似懂非懂，似會非會，表面上聽的頭頭是道，實際上對于老師所講的數學內容一知半解。因此，在課堂教學過程中，對于一些學生容易出錯的內容，老師應該讓學生走上講臺，向全體學生講解這類數學問題。通過學生演講的方式，增加課堂趣味，帶動課堂氣氛的提高。
以蘇教版初中數學八年級下冊第七章第七節“一元一次不等式與一元一次方程”為例：由于學生已經掌握了關于一元一次不等式的基本知識，對于一元一次方程也有了熟練的掌握，因此，我讓學生自己對這兩個知識點之間的聯系進行自我總結，可以與其他學生進行探討交流。學生總結之后，我讓一名學生走上講臺，向其他學生講解這部分知識。該學生講解過程中，其他學生都在認真的聽講，他們對于學生講課這種新穎而富有趣味的上課方式產生了很大的興趣，數學課堂變的生機十足。
四、開設數學知識課堂競賽
以往數學的考核方式是通過學生做大量的試卷練習，在試卷練習中鞏固數學知識，提升應用數學問題的能力。然而，如果在課堂上采用這樣的考核方式，本來就珍貴的課堂時間就會大量的被浪費掉，課堂氣氛也會變得沉悶、毫無生機。并且，這樣的考核方式形式單一，容易使學生產生厭煩的心理，不利于學生對于數學的學習。為了讓數學變得更加有趣，課堂變的更具生機與活力。老師可以在班級里定期舉辦數學知識課堂競賽活動。通過比賽，一個人學習數學變成了全體學習數學，更容易發揮學生的能動性。
一、注重科學探究，培養學生的探究能力
數學新課程標準提出了必須以科學探究為主要的學習方式，學生從事探究的過程中會對自然界有所認識，其目的是培養學生的科學素養和一定的科學探究能力、探究意識，作為新課程下的數學教學，教師要明確探究活動是新課程的主線之一。
一方面：要不失時機的對學生進行探究和實踐指導，使其形成良好的探究習慣和意識。例如，“函數的單調性”一課中，教師要注意有意識地進行探究活動步驟和方法的指導。
二、使抽象的數學知識形象化
職中數學知識抽象化程度很高，有很多知識與生活脫離比較遠，職中學生從初中的簡單形象數學到復雜抽象的數學往往難以適應，如在職中數學教學中設置一些情境使知識形象化來進行學習，教學效果將會明顯提高。德國教育家第斯多德曾指出：“教學的藝術，不在于教授的本領，而在于激勵、喚醒、鼓勵”。情境創設有著其重要的作用，不僅可以讓學生更加容易地掌握所學過的知識，更能加深對這些知識點的認識，而且可以通過師生互動使原本枯燥、抽象的數學知識變成學生所希望了解的、生動的知識。因此，如何更有效地創設情境就顯得尤其重要了。
三、進一步轉變教學觀念，充分認識數學交流的重要性
基于數學學習理論的考查，使我們認識到數學學習的目的是促進個體獲得對數學知識的理解，形成解決問題的能力，促進包括情感、實踐能力和創新意識在內的全面發展與個性發展。
四、合理使用多媒體輔助教學，優化數學課堂教學
隨著科學技術的不斷發展，教學手段也要不斷更新。多媒體輔助教學作為現代化教學手段之一，已越來越為人們重視。其優勢在于它能把文字、聲音、圖形、圖像、動畫等融為一體，活化教材，使教學內容形象化。更加符合學生的年齡特征和思維特點。在職中數學課堂教學中。根據實際需要，正確合理地使用多媒體輔助教學，可顯著地提高教學效率，以達到課堂教學最優化的目的。
五、在例題教學中揭示數學思想方法
解題的過程實質上是在化歸恩想的指導下，合理聯想提取相關知識，調用一定數學思想方法加工、處理題設條件和知識，逐步縮小已知條件與所求結論間的差異過程。運用數學思想方法分析、解決問題，可開拓學生的思維空間；優化解題策略。
六、在復習歸納總結中概括數學思想方法
數學思想方法貫穿在整個數學教材的知識點中，以內隱的方式融于數學知識體系。要使學生把這種思想內化成自己的觀點，應用它去解決問題，就要把備種知識所表現出來的數學思想適時地作出歸納概括。概括數學思想方法要納入教學計劃，要有目的、有步驟地引導參與數學思想的提煉概括過程，特別是章節復習時在對知識復習的同時，將統領知識的數學思想方法概括出來，以增強學生對數學思想的應用意識，從而有利于學生更透徹地理解所學的知識，提高獨立分析、解決問題的能力。
七、在概念、定理、公式、法則教學中滲透數學思想方法
關鍵詞：培養；高中數學；教學；創新意識
一、培養高中生創新意識的關鍵性
隨著社會的發展，充分展現了“創新意識是國家和民族的發展動力和源泉”這句話的深刻性。所以在高中數學教學的方式上，老師應該從實際出發，充分掌握學生的年齡階段和他們對知識的理解能力，從而激發學生的積極性和對知識的創造意識，提出適合學生年齡階段的數學問題，引導學生獨立解決問題。老師可以通過對學生的情況表現，不斷地將教學問題進行延伸，從而達到數學知識和日常生活實際相互聯系。所以，數學教師在日常的教學生活中，應該培養學生的創新意識，以至于達到自覺學習數學的能力，并可以充分利用所學知識。
二、培養高中生創新意識的主要途徑
在高中數學學習中，增強學生的創新意識極其重要。顧名思義，創新意識就是指在一定的思維程度上能夠加強思維的開發和延伸，能夠通過實踐得出真知，高中階段學生的創新思維能力有限，不善于總結找出結論，在考慮問題時不夠全面。所以在高中數學教學中，我們應該在三個方面著手培養學生的創新意識：（1）加強創新意識的滲透。（2）加強學生對于數學的總結能力，使學生能夠充分掌握知識點，然后對知識進行概括。（3）使學生具有最基本的推理能力。在解決問題的過程中，要具備邏輯推理的過程，使學生能夠掌握數學推理能力。（4）如何增強實際應用的能力，對所學的知識進行創新。例如，在講人教版高中數學第二冊（上）第七章第七節“圓的一般方程”授課過程中，高中數學老師應該幫助學生樹立創新的意識，通過學習圓的一般方程，引導學生進行總結，可以得到什么樣的學習技巧和方法，又該怎樣去創新所學的知識。
綜上所述，當今高中數學教學的關鍵所在就是對學生綜合創新意識的培養。在老師的帶領下，讓學生自覺主動地參與到數學學習中來，結合實踐充分理解數學知識的來源及其和日常生活的聯系，在展現自我能力的同時對數學學習有更深層次的理解。綜合提高學生的創新意識，才能達到新課標的要求，才能推動數學學科不斷向前發展，創造一個新的數學領域。
一、預習方法的指導
七年級學生往往不善于預習，也不知道預習起什么作用。預習僅僅是流于形式，草草看一遍，看不出問題和疑點。在指導學生預習時應要求學生做到：一粗讀，先粗略瀏覽教材的有關內容，掌握本節知識的概貌。二細讀，對重要概念、公式、法則、定理反復閱讀、體會、思考，注意知識的形成過程，對難以理解的概念作出記號，以便帶著疑問聽課。方法上可采用隨課預習或單元預習。預習前教師先布置預習提綱，使學生有的放矢。實踐證明，養成良好的預習習慣，能使學生變被動學習為主動學習，同時能逐漸培養學生的自學能力。
二、指導學生學會讀數學書
1.閱讀引言
（1）章節標題，因為它標出了課文主題；（2）注意理解段落大意，弄明白引入新知識的直觀素材；（3）抓住關鍵字、詞、句和重要結論，這對于理解新知識非常重要。
2.閱讀概念
（1）要正確理解概念中的字、詞、句，能正確進行文字語言、圖形語言和符號語言的互譯；（2）要注意聯系實際找出正反例子或實物；（3）要弄明白概念的內涵和外延，也就是說既能區分相近的概念，又能知道其適用范圍。
3.閱讀定理
（1）要注意分清定理的條件和結論；（2）要探討定理的證明途徑和方法，通過與課本對照，分析證法的正誤、優劣；（3）要注意聯系類似定理，進行分析比較，掌握其應用；（4）要思考定理可否逆用，推廣及引申。
4.閱讀公式
（1）要弄明白公式的來龍去脈，會推導公式；（2）要明白公式的特征并能想法子記住；（3）要注意公式的應用條件，弄明白有關公式的內在聯系，了解公式的運用、逆用、合用、變用和巧用。
5.閱讀例題
教材中的例題，是學習如何運用概念定理公式最一般的示范，閱讀時要作為重點。（1）分析解題過程的關鍵所在，嘗試解題。（2）要和課本比較解法的優劣，并使解題過程的表達既簡捷又符合書寫格式。（3）要注意總結解題規律并努力探求新的解題途徑。這對提高解題能力大有益處。
三、聽課方法
聽課是學生學習數學的主要形式。在教師的指導、啟發、幫助下學習，就可以少走彎路，減少困難，能在較短的時間內獲得大量系統的數學知識，否則事倍功半，難以提高效率。所以聽課是學好數學的關鍵。
學生除在預習中明確任務，做到有針對性地解決符合自己實際的問題外，還要集中注意力，使自己的思維活動緊緊跟上教師的講課，開動腦筋，思考教師怎樣提出問題、分析問題、解決問題。特別要從中學習數學思維的方法，如觀察、比較、分析、綜合、歸納、演繹、一般化、特殊化等，就是如何運用公式、定理，其中也隱含著思想方法。
在聽課時，一方面要理解教師講的內容，思考或回答教師提出的問題，另一方面要獨立思考，鑒別哪些知識已經聽懂，哪些還有疑問或有新的問題，勇于提出自己的看法。如果課內一時不能解決，就應把疑問或問題記下，留待課后自己思考或請教老師。專心聽老師講課，切勿因一處沒有聽懂，思維就停留在這里，而影響后面的聽課。聽課時要把老師講課的要點、補充的內容與方法記下，以備復習之用。
四、課后復習鞏固及完成作業方法的指導
學生課后往往容易急于完成書面作業，忽視必要的鞏固、記憶、復習，以致出現照例題模仿、套公式解題的現象，造成為交作業而做作業，起不到作業的練習鞏固、深化理解知識的應有作用。為此，在這個環節的學法指導上要求學生每天先閱讀教材，結合筆記記錄的重點、難點，回顧課堂講授的知識、方法，同時記憶公式、定理（記憶方法有類比記憶、聯想記憶、直觀記憶等）。然后獨立完成作業，解題后再反思。在作業書寫方面也應注意“寫法”指導，要求學生書寫格式要規范、條理要清楚。七年級學生要做到這幾點很困難。指導時應教會學生：1.如何將文字語言轉化為符號語言；2.如何將推理思考過程用文字書寫表達；3.由條件畫出圖形。這里教師的示范作用極為重要，開始可有意讓學生模仿、訓練，逐步使學生養成良好的書寫習慣，這對今后的學習和工作都十分重要。
五、小結或總結方法的指導
在進行單元小結或學期總結時，學生總是習慣于依賴教師。因此，從七年級開始就應該在教師的指導下培養學生學會自我總結的方法。在具體指導時可以給出一些復結的方法和途徑。要做到：一看：看書、看筆記、看習題，通過看，回憶、熟悉所學的知識內容；二列：列出相關的知識點，標出重點、難點，列出各知識點之間的關系，進行分類、歸納，使所學的知識系統化、結構化、網絡化；三做：在此基礎上有目的、有重點、有選擇地解一些各種檔次、類型的習題，通過解題再反饋，發現問題、解決問題，最后歸納出解題方法。學生總結與教師總結相結合，教師總結要達到精煉和升華知識、突出數學思想方法的目的，使學生的學習水平向更高層次發展。
六、數學學習方法的指導形式
1.講授式。包括課程式和講座式。課程式是在七年級新生入學時安排幾次課向學生介紹學習中學數學的方法，提出數學學習常規要求，作為七年級新生數學課的入學教育。講座式可分專題進行，可每月搞一至二次。如介紹怎樣聽課、如何記課堂筆記內容等。
2.交流式。讓學生互相交談，介紹各自的學習方法。可請本班、本年級或高年級的學生介紹數學學習的方法、體會和經驗。這種方式學生易于接受，氣氛活躍，不求大而全，只求有所得，使交流真正起到相互促進作用。
學習這件事不在乎有沒有人教你，最重要的是在于你自己有沒有覺悟和恒心。任何科目學習方法其實都是一樣的，不斷的記憶與練習，使知識刻在腦海里。下面是小編給大家整理的一些初一數學的知識點，希望對大家有所幫助。
七年級數學知識點三角形
1、三角形由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形。
2、判斷三條線段能否組成三角形。
①a+b>c(ab為最短的兩條線段)
②a-b
3、第三邊取值范圍：a-b
4、對應周長取值范圍
若兩邊分別為a,b則周長的取值范圍是2a
如兩邊分別為5和7則周長的取值范圍是14
5、三角形中三角的關系
(1)、三角形內角和定理：三角形的三個內角的和等于1800。
n邊行內角和公式(n-2)
(2)、三角形按內角的大小可分為三類：
(1)銳角三角形，即三角形的三個內角都是銳角的三角形;
(2)直角三角形，即有一個內角是直角的三角形，我們通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。
注：直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余。
(3)鈍角三角形，即有一個內角是鈍角的三角形。
(3)、判定一個三角形的形狀主要看三角形中角的度數。
(4)、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。
6、三角形的三條重要線段
(1)、三角形的角平分線：
1、三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。
2、任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內一點。
(內心)
(2)、三角形的中線：
1、在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。
2、三角形有三條中線，它們相交于三角形內一點。
(重心)
3、三角形的中線把這個三角形分成面積相等的兩個三角形
(3)、三角形的高線：
1、從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。
2、任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。
(垂心)
3、注意等底等高知識的考試
7、相關命題：
1)三角形中最多有1個直角或鈍角，最多有3個銳角，最少有2個銳角。
2)銳角三角形中的銳角的取值范圍是60≤X
3)任意一個三角形兩角平分線的夾角=90+第三角的一半。
初一下冊數學《三角形》知識點一、目標與要求
1.認識三角形，了解三角形的意義，認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形。
2.經歷度量三角形邊長的實踐活動中，理解三角形三邊不等的關系。
3.懂得判斷三條線段可否構成一個三角形的方法，并能運用它解決有關的問題。
4.三角形的內角和定理，能用平行線的性質推出這一定理。
5.能應用三角形內角和定理解決一些簡單的實際問題。
二、重點
三角形內角和定理;
對三角形有關概念的了解，能用符號語言表示三條形。
三、難點
三角形內角和定理的推理的過程;
在具體的圖形中不重復，且不遺漏地識別所有三角形;
用三角形三邊不等關系判定三條線段可否組成三角形。
四、知識框架
五、知識點、概念總結
1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三角形的分類
3.三角形的三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊。
4.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高。
5.中線：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線。
6.角平分線：三角形的一個內角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。
7.高線、中線、角平分線的意義和做法
8.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。
9.三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°
推論1直角三角形的兩個銳角互余;
推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和;
推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角;
三角形的內角和是外角和的一半。
初一數學學習方法一預習
對于理科學習，預習是必不可少的。我們在預習中,應該把書上的內容看一遍，盡力去理解，對解決不了的問題適當作出標記，請教老師或課上聽講解決，并試著做一做書后的習題檢驗預習效果。
二聽講
這一環節最為重要，因為老師把知識的精華都濃縮在課堂上，聽數學課時應做到抓住老師講題的思路，方法。有問題記下來，課下整理，解決，數學課上一定要積極思考，跟著老師的思路走。
三復習
體會老師課上的例題，整理思維，想想自己是怎么想的，與老師的思路有何異同，想想每一道題的考點，并試著一題多解，做到舉一反三。
四作業
認真完成老師留的習題，適當挑選一些課外習題作為練習，但切忌一味追求偏題，怪題，更不要打“題海戰術”。
五總結
【關鍵詞】興趣教學 初中數學 應用方法
中圖分類號：G4 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2017.03.004
教育學專家在長期研究過程中發現，興趣是學生學習的重要的積極因素。只要學生在學習過程中，對某一科目或者某一問題產生興趣，那么這一興趣就會促使學生動用更多精力想方設法的解決這一問題，而且在解決的過程中，學生的態度也是堅持不懈的。興趣成為幫助學生增加認知的重要動力因素，也是幫助學生繼續探索活動的推動力。在數學教學中，教師應該發揮自身的引導作用，幫助學生形成良好的學習習慣和積極的學習心態，培養學生的興趣，讓學生在歡快的氛圍中學習數學。
一、教師應以積極情感狀態面對學生
教學過程既是教師教導學生的過程，也是引導學生情感的過程。學生是富含感情的主體，每個學生因為成長環境和家庭因素和個人性格等，內心世界也各有不同，需要老師的鼓勵和教導。并且教師應該從內心出發，給予學生真正的信任和尊重。數學教師教導學生，除了要有豐富的數學知識、融會貫通的解題思路和技巧以及嚴謹的態度之外，還要有愛護學生、教育學生的思想情感。教師講課的時候，應該用飽滿的情感和柔和的聲調感染學生。學生做題或者有不懂的問題時，教師應該用正面的話語幫助他們恢復自信，用正確的方法引導學生學習。
二、設置有趣的課堂學習環境
眾所周知，數學知識比較難理解，尤其初中數學知識，是由小學數學向高中數學過渡的重要連接階段。如果學生對數學課程的內容沒有興趣的話，學生可能掌握不了知識，更別說學習技巧的解題方法了，有些學生對數學課程甚至產生了抵觸情緒。所以，教師在安排課程內容和設置講課模塊時，應該將刺激學生的學習興趣放在重要位置上，不斷引導學生，讓學生在自由、有趣的環境中挖掘知識的內涵。在開始一個新的模塊時，用貼切的事例向學生介紹主要內容顯得非常關鍵。比如，課程進行到平面幾何這一章節時，數學教師應該在該章節的開頭，用有趣味性的語言向學生介紹。可以將故宮建筑的對稱設計作為例子，利用多媒體手段將與故宮有關的圖像或照片展示給學生，讓學生對幾何基礎概念等有所了解，再在接下來的時間內提出問題，讓學生總結幾何的定義，以確保學生對幾何的了解。學生在有趣的課堂環境中，更容易掌握知識。
三、重視課堂所提問題的趣味性
學生在課堂環境中，因為比較正式所以容易緊張。有趣味性的問題能讓學生輕松的融入到課堂環境中，促使學生在課堂上積極思考，加大了解決數學問題的可能性。初中數學知識章節中，涉及到的方程組計算是整個初中階段所占比重不小的知識模塊。教師應該在講課中，以趣味性語言向學生發問。比如，讓班里的學生分別扮演店員和買家，店員向買家介紹物品的信息，并告訴買家該物品的現價為240元，這一物品在原成本的基礎上曾經上調過40%，又在目前的基礎上進行八折銷售。這個時候老師發問，如果設原價為X，那么根據已知條件，請計算出原價是多少。學生在老師設置的課堂情境中，能夠融入其中。老師的發問方式也比較有趣，不同于往日提問那么生硬。老師的趣味性發問調動了課堂的氣氛，學生愿意參與其中，并積極解答老師的發問。
四、“賣關子”加重學生的好奇心
數學教師在教學過程中，可以適當設置懸念，給學生留下一定的好奇心，能夠讓學生在上課過程中集中精力聽課，學生能在短短的40多分鐘內，快速掌握課程的知識點。這一過程也加強了教師的教學成果。比如，在教學過程中，數學教師利用發達網絡搜索貼合課程內容的素材，并通過教學用的多媒體器材將素材呈現在學生眼前。這種素材既包括符合教學重點內容的圖像等，也包括適當的生活實例等。學生看到教師準備的材料，肯定會提出問題，有些沒有提出的問題可能已經在學生腦海中變成重點解決對象。教師在這個時候可以設置問題，讓學生帶著疑惑和問題走進數學課程內容中。比如，在課堂的最初幾分鐘時，老師問學生：“8減去1，結果為7，沒錯吧？”學生回答：“沒錯”。老師接著說：“那1減去8，結果是多少呢？”學生這個時候都露出了一副“老師，你搞錯了”的表情。學生心里已經產生了很大的疑問，成功的引出了學生的好奇。接著老師就可以將問題過渡到之后要講的內容上，讓學生帶著問題去聽課。
五、不斷引申已經掌握的知識點
數學知識本身具備靈活、多變的特性。數學教學過程中，教師應該在課程之前就對要講的知識點進行研究。要在現有問題的難易程度上進行探索，要在淺顯易懂的問題的基礎上，將問題繼續延伸，讓學生在現有的思考范圍中解放出來，讓思考發射到更遠的問題上去。幫助學生們了解更多的新知識，擴展了他們的解題思路和技巧。比如，涉及到“SAS”知識點時，教師可以通過觀察學生的學習情況和課堂的解題速度，了解學生對知識點的掌握情況。并根據課后題的難易程度和提問方式方法，在原題的基礎上做出些許改變，讓初學這些知識的學生能夠在已經了解公式和理論的基礎上，靈活運用這些知識點。
六、向學生介紹數學發展歷程中的真人真事
數學這一人類歷史上的重要學科，在發展過程中一定包含了非常多的人民的智慧。無數個數學家的不停鉆研和思考，才有了今天的數學。在教學過程中，應該多展示這個學科的歷史背景，引用數學史中有趣的資料內容，刺激學生學習的熱情，幫助學生掌握更多的有關數學的知識。在講解“有理數”時，可以從原始社會“計數”開始。原始社會計數時，依靠繩子上的繩結數量計算，也有通過計算石頭的堆積數量來分配食物的情況。后來，又在這一基礎上產生了自然數的概念。在計量土地等的過程中出現了正分數的概念，有了正分數又產生了與之對應的負數，逐漸的又形成有理數的概念。而我國的數學家對數學這一學科的發展也作出了非常大的貢獻。比如，祖沖之在前人的基礎上，將圓周率的精確度提高到另一個檔次。學生在這些事實中能夠了解到許多故事，激發本身學習數學的熱情。同時，在這種“為了數學，不怕挫折”的精神引領下，學生們也受到該精神的引領，對學習數學產生了極大的興趣。
