時間：2023-08-08 16:50:59
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全面貫徹黨的教育方針，深化教育改革，推進素質教育，是當前我國教育改革的重要任務。教育部計劃從2001年秋季開始，用大約五年左右的時間在全國推行義務教育新的課程體系。在新一輪基礎教育課程改革中，在理念、目標、結構、內容、實施、評價等方面較以往的課程有了重大的突破和創(chuàng)新，對廣大中小學教師和教育工作者提出了許多新的更高的要求，對培養(yǎng)教師的高等師范院校提出了嚴峻的挑戰(zhàn)。高師數(shù)學教育面對課改帶來的一系列變化，應采取積極的策略應對這些挑戰(zhàn)，不僅有利于保障課改的順利實施，也有利于推動高師教育自身的發(fā)展。
一、基礎數(shù)學課改對高師數(shù)學教育的挑戰(zhàn)
基礎數(shù)學課程改革具有很強的系統(tǒng)性，是真正意義上的課程文化創(chuàng)新，是一場深刻的課程文化變革，它將改變學生沿襲已久的被動接受的學習方式，同時也將改變教師的角色，教師從“兒童的保姆”、“小樹的園丁”、“知識的批發(fā)商”轉變?yōu)?ldquo;教學活動的組織者”、“學生成長的促進者”、“課程結構的研究者”。基礎教育數(shù)學課程改革向培養(yǎng)中小學數(shù)學教師的高師數(shù)學教育提出了嚴峻的挑戰(zhàn)。
挑戰(zhàn)一：教育理念的更新
新舊課程的本質區(qū)別是教育理念的不同。舊課程觀認為課程是知識，教師是知識的傳授者，教師是中心，學生是知識的接受者，而新課程觀認為課程不僅是知識，同時也是經(jīng)驗，是活動；課程不僅是文本課程，更是體驗課程；學生獲取知識的過程是自我構建的過程，是師生共同探究新知識的過程。舊課程認為課程就是教材，教材又是知識的載體，而新課程觀認為課程是教材、教師、學生、環(huán)境等因素的整合，是一個生態(tài)系統(tǒng)；師生是課程資源的開發(fā)者，共創(chuàng)共生，形成學習共同體。目前，師范在校生接受的是傳統(tǒng)的數(shù)學教育，陳舊的教學理念在頭腦里根深蒂固。而基礎數(shù)學課程改革能否取得成功的核心問題是數(shù)學教育理念能否轉變?yōu)榻處煹慕虒W行為，陳舊的教育理念很難保證高師生在未來數(shù)學教學中適應基礎教育數(shù)學課程的改革。
挑戰(zhàn)二：教育目標的多維性
傳統(tǒng)的應試教育由于過分注重知識的傳授和學科本位，強調知識和技能的獲得，學生被動學習，死記硬背，機械訓練，大部分學生失去了學習數(shù)學的興趣，90%的學生陪10%的學生學習數(shù)學。新課程數(shù)學教育是“知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀”三維一體的培養(yǎng)目標，不只是讓學生獲得必要的數(shù)學知識和技能，還包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等方面的發(fā)展；讓學生愿意親近數(shù)學、了解數(shù)學，學會用數(shù)學的眼光去認識自己所生活的環(huán)境和社會；學會“做數(shù)學”和“數(shù)學地思考”；發(fā)展學生的理性精神、創(chuàng)新意識和實踐能力，培養(yǎng)學生克服困難的意志力，建立自信心等。但目前的師范生，大多采用被動接受的學習方式，重結果輕過程，重套用輕創(chuàng)造，重理論輕實踐；對學生情感、態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)不夠關注，這樣培養(yǎng)的數(shù)學教師與素質教育要求的新型教師是不相符的。
挑戰(zhàn)三：數(shù)學課內容的整合性
基礎教育數(shù)學課程與原課程相比較有重大變化，一是教材內容的變化。增加了一些有用的、與日常生活緊密的內容，如視圖與投影，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學建模，算法，信息安全與密碼，測量，二維與三維圖形的轉化，風險決策等，這些內容在高師數(shù)學專業(yè)課中比較薄弱，有些甚至是沒有覆蓋的。二是教學內容的變化。教學內容不僅僅是教材，還包括教師、學生、教材和環(huán)境等因素的整合，因為這些因素對學生的教育和影響遠遠大于學生在課本上學到的東西。這就向傳統(tǒng)的、有缺陷的高師數(shù)學課內容提出了挑戰(zhàn)。
挑戰(zhàn)四：教學活動中角色的轉變
素質教育提出：數(shù)學教學應該是數(shù)學活動的教學，是師生之間交往互動與共同發(fā)展的過程，是以學生學習興趣和內在需要為基礎，以主動探索、變革、改造活動對象為特征，以實現(xiàn)學生主體能力綜合發(fā)展為目的的主體活動。學生是教學活動的主人，教師是組織者、引導者和合作者，教師要從學生的實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流獲得知識、形成技能、發(fā)展思維、學會學習，關注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都能得到充分的發(fā)展。而目前高師數(shù)學教學中，教師基本上是“滿堂灌”，教學過程呆板，缺乏探究和學生的主動參與，缺乏相互的合作和交流。學生是忠實的聽眾，被動地圍繞上課、作業(yè)和考試轉，缺乏主動探索精神，這樣的教學活動不利于師范生從學生向新型教師角色的轉變。
二、高師數(shù)學教育的應對策略
在我國教育戰(zhàn)略、政策、體制改革的大背景下，隨著教師教育改革的不斷深入，高等師范院校在未來教師培養(yǎng)方面所面臨的挑戰(zhàn)應予高度重視。針對當前我國基礎教育正在進行大規(guī)模的改革，中小學數(shù)學課程出現(xiàn)前所未有的變化，高師數(shù)學教育“教什么、怎么教”，如何使培養(yǎng)的學生適應基礎教育數(shù)學課程改革的發(fā)展要求，是需要深入研究的問題。筆者認為高師數(shù)學教育面對基礎數(shù)學課改的挑戰(zhàn)應做好五個“轉變”：
策略一：教學內容的轉變
高師數(shù)學教育類課在很大程度上仍然沒有跳出“數(shù)學+教育學”的傳統(tǒng)框架，所開設的課程基本上是純數(shù)學的，重在專業(yè)基礎知識的培養(yǎng)，這當然是必須是。但素質教育要求數(shù)學必須與其他學科和生活實際相聯(lián)系，更注重實用性，更注重師范生的數(shù)學素養(yǎng)和師范技能的培養(yǎng)，使師范畢業(yè)生在具有扎實的專業(yè)基礎知識的同時，還要具有應用意識、建模意識、學科綜合意識和教育現(xiàn)代化意識。所以，高師數(shù)學教育應調整基礎數(shù)學課程和應用數(shù)學課程，對專業(yè)必修課的內容進行整合和優(yōu)化，加強基礎性、前沿性和綜合性內容。教學內容應包括教
轉貼于
育的現(xiàn)展、數(shù)學學習心理學、數(shù)學教育理論與實踐、數(shù)學建模、新課程標準解讀、新教材教法研討、課例評析等，使高師數(shù)學教育達到“授人以業(yè)、授人以法、授人以道”的目的。
策略二：教學方法的轉變
恰當?shù)慕虒W方法是對素質教育理解的直接體現(xiàn)，教師的作用是通過課堂教學來體現(xiàn)的。傳統(tǒng)的講授法不能適應素質教育的要求。素質教育的最大特征就是由“教給學生數(shù)學的結果”轉化為“引導學生參與學習數(shù)學的過程”，這不僅僅是對中小學的要求，也是對高師的要求，更是對高師數(shù)學教師的要求。高師數(shù)學教師在教學中的地位應重新定位為數(shù)學探索活動的設計者、組織者、“導游”，數(shù)學教學必須使學生參與到數(shù)學探索活動中來，傳統(tǒng)的“以教師為中心”、“教師在課堂上起支配和決定作用”的狀況應改變，學生的主體地位應加強，讓學生在學習中進行探索并主動構建知識。發(fā)展學生自主學習、自主探索、自主構建、自主創(chuàng)造的行為模式。高師數(shù)學教師的教學行為直接影響學生的學習方式和未來的教學方式，許多有效的學習方法和教學方法是直接從教師具有示范性的教法轉化而來的。
策略三：教學模式的轉變
由于同一年級學生的知識、能力、背景和理想等因素的不同，傳統(tǒng)的同一的教學模式與分化的學生之間存在的矛盾比較突出：“比較差”的學生跟不上，“優(yōu)秀”的學生感到吃不飽；立志從教的學生（假設為a層）覺得師范技能培養(yǎng)不夠，立志進一步深造的學生（假設為b層）感到專業(yè)知識需要提高。分層次教學模式是解決這一矛盾的有效方法。對不同的學生制定不同的教學目標和教學內容，提出不同的要求：a層學生應達到中學教師的基本要求，b層學生在知識能力達到較高要求的同時應在創(chuàng)新和應用上有所拓展。
策略四：學習方式的轉變
長期以來，相當數(shù)量的學生幾乎是從小學開始面對應試的競爭，并隨著年級的升高愈演愈烈，這對學生的學習方式產(chǎn)生了許多不良影響：讀死書和死讀書；死記硬背概念、公式、性質、定理和解題方法；搞題海戰(zhàn)術；不習慣于合作和探索。現(xiàn)代數(shù)學教育理論研究的一個重要成果是獲得了關于學生學習活動本質更為深刻的認識：這是一個以其已有的知識和經(jīng)驗為基礎的主動建構的過程，是一個社會的過程。學生的學習活動不應只限于對概念、結論和技能的記憶、模仿和接受。高師院校應充分利用自己的課程資源和各種信息技術作為學生學習數(shù)學的平臺，給學生自由學習的時間和空間，為學生創(chuàng)造充分的條件，在獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學和課題研究中體驗數(shù)學的本質和學習數(shù)學的樂趣，學會“做數(shù)學”的方法。
策略五：學習評價方式的轉變
【摘要】
在《算術基礎》中，弗雷格追溯了數(shù)學表達式之不變的邏輯基礎的同時，清理了帶有主觀性和相對性的心理主義。但心理主義并沒有因此銷聲匿跡，反而在蒯因那里得到復興，而且蒯因還基于自然主義的心理主義，否定了弗雷格對數(shù)學基礎的探尋。本文試圖借由解讀弗雷格和蒯因的文本，展示數(shù)學哲學中的基礎主義與心理主義之爭，并借由弗雷格的文本對蒯因的心理主義做出回應。
關鍵詞
基礎主義；心理主義；分析性；整體論
中圖分類號：B089文獻標識碼：A
文章編號：1000-7660（2015）03-0063-07
作者簡介：劉鈺森，廣東潮州人，哲學博士，（廣州510006）華南師范大學公共管理學院、哲學研究所講師。
蒯因（W·V·Quine）在《從刺激到科學》開頭“追憶往昔”一章中提到弗雷格（Gottlob Frege）時，將弗雷格的理想概括為探尋數(shù)學知識的本質以及數(shù)學真理的基礎。他認為弗雷格和羅素、懷特海在這一方面是同路人，他們的結論是認為數(shù)學可翻譯為純邏輯，由此可以進一步推導出數(shù)學真理是邏輯真理，并且它的全部都能還原為自明的邏輯真理。蒯因認為弗雷格等人的這種觀點是錯誤的，而且哥德爾1931年的論文以及羅素1902年的發(fā)現(xiàn)使得弗雷格等人的理想煙消云散
。
弗雷格當年在《算術基礎》等著作中所提出的如蒯因以上所說的基礎主義
理想，否定了密爾等人關于數(shù)學的心理主義所帶有的主觀性和相對性。然而，蒯因否定弗雷格等人對數(shù)學基礎的探尋的背后，恰好是他在《真之追求》等著作中所概括的自然主義的心理主義立場。本文試圖通過從《算術基礎》到《真之追求》的解讀，展示數(shù)學哲學中基礎主義與心理主義之爭的某種面貌，也試圖基于弗雷格的文本，回應蒯因新興的心理主義。
一、弗雷格的“基礎主義”
“如果在萬物長河中，沒有任何東西是不變的，永恒的，那么世界就不再是可認識的，一切就會陷于混亂。”
弗雷格要探求的就是這種永恒不變的東西。作為一名數(shù)學家，他的這種探索是從數(shù)字入手的。比如數(shù)字1，慣常的說法是它指示一個事物；將1這個數(shù)說成屬于事物，卻沒有說明事物是哪個；這將使得每個人都可以任意理解這個名稱，關于1的同一個句子對于不同的人意味著不同的東西。心理主義會導致的這種相對主義是弗雷格所反對的。
弗雷格認為，思維本質上在哪里都是一樣的：絕不能根據(jù)對象而考慮不同種類的思維規(guī)律。不同于心理主義從具有相對性的心理表象來解釋意義，弗雷格要找的是一個客觀的外在基礎：“人們從本書將能看出，甚至像從n到n＋1這樣一條表面上專屬于數(shù)學的推理，也基于普遍的邏輯規(guī)律，而且不需要特殊的聚合思維的規(guī)律。” 弗雷格要的是在語言、數(shù)字后面的那個永恒不變的東西，他要的是一種在哪里都是一樣的“思維”、一種普遍的邏輯規(guī)律。
弗雷格力圖說明，感覺與內在圖像具備不穩(wěn)定性和不確定性，而數(shù)學概念和對象則具備確定性和明確性；因此算術與感覺根本沒有關系，內在圖像對于數(shù)學是無關緊要和偶然的。如果從心靈本質對概念進行心理學解釋，并以為由此可以得到概念的本質，那么這只會使一切成為主觀，走到底甚至會取消真。要認識到概念的純粹性質，需要大量的理性工作以追溯定義普遍的邏輯基礎：
如果定義僅僅在后來由于沒有遇到矛盾而被證明是有理由的，那么進行證明的嚴格性依然是一種假象，盡管推理串可能沒有缺陷。歸根到底，人們以這種方式總是只得到一種經(jīng)驗的可靠性，實際上人們必須準備最終還是會遇到矛盾，而這個矛盾將使整個大廈倒塌。為此，我認為必須追溯到普遍的邏輯基礎……
普遍的邏輯基礎的追溯需要堅持三條基本原則：“要把心理學的東西和邏輯的東西，主觀的東西和客觀的東西明確區(qū)別開來；必須在句子聯(lián)系中研究語詞的意謂，而不是個別地研究語詞的意謂；要時刻看到概念和對象的區(qū)別。”同上，第8—9頁。 換言之，堅持客觀性原則，要求只在心理學意義上使用“表象”，把表象與概念和對象區(qū)別開來，前者代表心理的和主觀的，后者代表客觀的和邏輯的；堅持語境原則，要求避免將個別的心靈的內在圖像或活動當作語詞的意謂；函項原則要求的是，未充實的概念不可成為不變的客觀對象。
客觀性原則預示著弗雷格所追溯的基礎將是與具有相對性的心理表象無關的客觀邏輯基礎，它是普遍性的；而函項原則與語境原則將在獲得作為算術基礎的數(shù)定義方面起著至關重要的作用。提出這三個原則之后，弗雷格指出他那個時代的數(shù)學回到一種甚至要努力超越歐幾里得的嚴格性，那就是人們對各種概念進行嚴格的證明；而且他相信沿著嚴格證明之路，必然能獲得構成整個算術基礎的數(shù)概念以及適合于正整數(shù)的最簡單的句子。
于是在弗雷格眼中，數(shù)學本質上只要能用證明就不用歸納來獲得確證。證明的目的在于使句子的真擺脫各種懷疑，并且提供關于句子的真之間的相互依賴性的認識。句子間的真的依賴性在哲學上需要對先驗和后驗、分析和綜合做出區(qū)分。在弗雷格看來，與此區(qū)分有關的是判斷的根據(jù)（justification），而非其內容。因此，通過證明達到的根據(jù)如果是普遍的邏輯真理和一些定義，獲得的是分析的真；而根據(jù)非普遍邏輯性質的特殊知識領域的真得到證明的句子，則是綜合的。類似地，是否完全從本身不能夠也不需要證明的普遍定律得到證明，則是區(qū)分一個句子的真是否先驗的標準。
從根據(jù)而不是從內容區(qū)分真的先驗和后驗、分析和綜合，這也是弗雷格追溯基礎理想的一種體現(xiàn)，更直接的是，它與追溯算術基礎時所必需的嚴格證明之路密切相關：在數(shù)學領域，要盡可能嚴格地證明算術定理，避免推理串中的每個缺陷，找到證明所依據(jù)的原初真命題。比如：
2加2等于4，這不是直接的真；假定4表示3加1。人們可以如下證明這一點：
定義：1）、2是1加1；2）、3是2加1；3）、4是3加1
公理：如果代入相等的數(shù)，等式依然保持不變。
證明：2＋2＝2＋1＋1＝3＋1＝4（定義1，定義2，定義3）
所以；根據(jù)公理：2＋2＝4
弗雷格認為萊布尼茨的上述證明有缺陷，應該更精確地書寫為：
2＋2＝2＋（1＋1）
（2＋1）＋1＝3＋1＝4 同上，第16—17頁。
萊布尼茨的證明缺少2＋（1＋1）＝（2＋1）＋1，它是a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的一種特殊情況；以這條定理為前提，其它公式都能以這種方式被證明，并且每個數(shù)就能夠由前面的數(shù)定義。“我們甚至沒有關于這個數(shù)的表象，可確實就這樣把它據(jù)為己有。通過這樣的定義，數(shù)的無窮集合化歸為一和加一，并且無窮多數(shù)公式均能夠由幾個普遍的句子證明。”基于這種證明方式，弗雷格試圖從a＋（b＋c）=（a＋b）＋c的形式來說明，借助幾條普遍規(guī)律，僅從個別數(shù)的定義可以得出數(shù)公式，但這些定義既不斷定觀察到的事實，也不假設其合法性（不需要justification）。他在批評前面提到的密爾等人的聚合性思維的同時，認為數(shù)的規(guī)律不可能是歸納的真命題：歸納如果是習慣的話，“習慣（作為一種主觀狀態(tài)）完全沒有保真的能力”，“歸納必須依據(jù)概率學說，因為它至多可以使一個句子成為概率的。但是如何能夠在不假設算術規(guī)律的前提下發(fā)展概率學說，卻是無法預料的”。
弗雷格認同萊布尼茨的觀點，數(shù)學中發(fā)現(xiàn)的必然真的命題必須有一些原則，其證明不依賴于例子及感覺證據(jù)。他認為幾何學定理之間可以互相獨立，它們不依賴邏輯的初始規(guī)律，因而是綜合的；但經(jīng)驗綜合的性質并非算術規(guī)律的性質。就數(shù)而言，每個數(shù)都有自己的獨特性，它要求關于數(shù)的科學原理是分析的，數(shù)相互之間是緊密相連的。關于數(shù)的普遍句子不必只適用于眼前存在的事實，數(shù)學的真命題“會有一系列未來使用的推理串，其用途將在于：人們不必再進行個別的推理，而是能夠立即說出這整個系列的結果。”
如果真的可以達到上面提到的作為根據(jù)的普遍句子，以便由之推導出數(shù)公式，那么這樣的句子應該是從更基本的數(shù)定義得出的。因此，接下來需要進一步考慮數(shù)的定義。
以往由于定義嘗試的失敗，數(shù)總被認為是不可定義的。把數(shù)看作事物性質，數(shù)是主觀的東西，把數(shù)解釋為集合、多或眾多，通過對不同的實物集合加以不同的命名來解釋數(shù)，這些說法都被弗雷格一一駁斥了。而對歐幾里德的“數(shù)是一種單位集合”的解釋，在指出后人的很多說法中的問題及困難之后，弗雷格提出解決困難的方法是：把一和單位做出區(qū)別。具有客觀性的“一”作為數(shù)學研究的一個對象的專名，不能是復數(shù)；相應地，單位應該是一個概念。概念不同于專名，只有當概念帶上定冠詞或指示代詞時才能被看做一事物的專名，但因此它就不是概念了。因此，“數(shù)是單位”的解釋把概念詞混淆為專名了。
弗雷格認為，“數(shù)的給出包含著對一個概念的表達”，“數(shù)的給出表達了一種獨立于我們理解的真實的東西”。上述觀點提醒我們：每一個個別的數(shù)詞是專名，它不等同于概念詞，當一個概念詞被它“充實”而飽和了之后，我們就得到了專名。在貫徹語境原則的前提下，弗雷格認為，為了獲得數(shù)這個概念作為對象的數(shù)，必須確定數(shù)相等的意義。他借助的是萊布尼茨“用一個事物替代另一個事物而不改變真，這樣的事物就是相同的”的解釋，把數(shù)相等界定為外延相等（數(shù)值的相等）。這與他在《含義與指稱》中提到的等值置換原則相一致：在邏輯中，真值相同的詞項和命題可以互相置換。我們可以由兩個等數(shù)的概念得到其下的數(shù)相等，加上“n在自然數(shù)序列中緊跟m”這個表達式，就能定義0和1，并且進一步確定數(shù)序列是無窮的。
基于客觀性原則，弗雷格反對心理主義的相對主義和主觀主義，他把算術奠基于一種不變的邏輯基礎之上。遵循語境原則和函項原則，他在《算術基礎》中主要展示了一種追溯算術基礎的方法。根據(jù)這種嚴格證明的方法，弗雷格認為從一些自明的公理（即他所謂的普遍的邏輯基礎、普遍句子）出發(fā)，加上數(shù)的定義，可以演繹出所有關于數(shù)的真命題。雖然這有循環(huán)論證嫌疑，但是弗雷格明確地認為按照他的嚴格證明的方法，可以追溯作為算術基礎的數(shù)的定義以及自明的公理。他在《算術基礎》中談及其基礎主義的哲學動機，在于澄清算術真是屬于先驗還是后驗、是屬于分析還是綜合。如前所述，從判斷的根據(jù)而非內容解釋真，由算術真所根據(jù)的是不可證明的普遍句子來看，算術真（truth）當然是先驗分析的。換言之，從算術真的基礎可以得出算術真是先驗分析的。這種哲學動機促使弗雷格進行基礎的追溯，而分析性也因此成了算術命題的特性，并且將其與綜合性的心理命題區(qū)分開來。
二、蒯因的《真之追求》及弗雷格應對的可能性
弗雷格以澄清算術真的分析性為其哲學動機，蒯因則由對分析性概念的批判而提出一種整體論的徹底經(jīng)驗主義，他的經(jīng)驗主義就是所謂的自然主義的心理主義。基于對分析命題的態(tài)度，這種經(jīng)驗主義并不承認數(shù)學中存在如弗雷格所追求的那種分析性的基礎。
蒯因在他著名的《經(jīng)驗論的兩個教條》中所批判的第一個非經(jīng)驗論教條，就是分析與綜合之分：奠基于非事實的意義的真（truth）是分析的，而奠基于事實的真是綜合的。而且，對分析與綜合之分根源同一的還原論的清理之后，他的結論是：由真一般地依賴于語言和語言之外的事實得出，每個陳述的真可分解為語言部分和事實部分，這是很多胡說的源頭。根據(jù)這種劃分，如果某陳述的真只與語言部分有關，那么該陳述就是分析的。這種分析和綜合之分，在蒯因看來是頑固地抗拒任何明確的劃分。科學看起來總體上依賴于語言與事實，但逐個地審視科學陳述，卻能發(fā)現(xiàn)并非如此。 沒有教條的經(jīng)驗論應該主張：“我們所謂的知識或者信念的總體，從最具因果性的地理和歷史的事實到相當復雜的原子物理或者甚至純數(shù)學和邏輯，是一個人造的構架，其僅僅是沿著邊緣侵入經(jīng)驗。”Ibid.， p.39.
把架構在經(jīng)驗基礎之上的人類知識體系比喻成一個倒扣的碗的話，純數(shù)學和邏輯即便處于碗頂，也最終要與經(jīng)驗相關。這種思想在蒯因后期的《真之追求》得到了進一步的闡述，與弗雷格固守理性、固守不變的基礎不同的是，蒯因固守的是他心中的經(jīng)驗論規(guī)范：“nihil in menter quod non prius in sensus（心靈中沒有任何東西是以前感覺中沒有的）”。他的出發(fā)點是：感覺的刺激-感受才是我們關于外在世界的知識客觀性的保證：
有關我們外在世界的知識的客觀性保持在我們與外在世界的接觸中、從而在我們的神經(jīng)攝取和與之相應的觀察句中得以確立。我們從整個句子而非從詞項出發(fā)。函項的一個教益是，我們的本體論，像語法一樣，是我們自己對關于世界的理論做出的概念的貢獻的一部分。人類提出建議，世界付諸實施，但這僅僅是經(jīng)由對具體表達人的預見的觀察句做出整句的“是”或“否”的判斷來達到的。
在蒯因看來，我們經(jīng)由感官刺激（stimulation），在歷代累積的創(chuàng)造性之下構造關于外部世界的系統(tǒng)理論。在刺激和感受的關系或者刺激和我們的外在世界的科學理論的關系的分析中，神經(jīng)科學、心理學、心理語言學、遺傳學或者歷史學都可以提供資源，而其中有一個部分可以僅借助邏輯分析來加以考察，那就是理論被預言檢驗的部分，或者屬于證據(jù)支持關系的部分。這就進入到了“求真”的領域，并且看來他也將采取邏輯分析和語言分析的方式，從目標和方法上看似乎與弗雷格對算術基礎的追求是一致的。
但事實并非如此，究其一生，蒯因直到最后的著作《從刺激到科學》都立足于前面提到的那個經(jīng)驗論規(guī)范。雖然蒯因有時候認為有些數(shù)學命題是沒有經(jīng)驗內容的，但是不同于弗雷格所認為的對每個對象都必然有意義的命題都是重認命題（recognition?judgment），比如數(shù)學中的等式，他認為有意義的命題恰好是有經(jīng)驗內容的命題，也就是能被檢驗、值得檢驗的命題。
蒯因更直接要解決的是所謂“科學游戲的目的”的問題。他認為，科學游戲的壓倒性目的是技術和理解。從技術和理解的角度來看，“所指和本體論如此后退到單純的輔助者的地位。真句子，觀察的和理論的，是科學事業(yè)的始終。它們由結構聯(lián)系起來，而對象扮演了結構的純節(jié)點的角色”。這種結構就是邏輯的聯(lián)系，在函項的理論下，px原來意味x是p的地方，可以重新詮釋為x是p的f；即在重新解釋后的句子逐詞保持不變的情況下，觀察句依然和以前一樣與相同的感覺刺激結合在一起，而且邏輯聯(lián)系完好無損，理論的對象卻被隨意大幅度地移換了。
這說明對象“對于觀察句的真是無關緊要的，對于觀察句對理論句提供的支持是無關緊要的，對于這個理論預言中的成功也是無關緊要的”。只要能保證與感覺刺激結合，那么作為“人造架構”的觀察句、理論句的對象就可以隨意移換。語詞、句子不過是人類使用的符號，人類可以“任意”地解釋，當然，前提是與感覺刺激結合：“人類提出建議，世界付諸實施。”對象在蒯因這里并不重要，對真句子來說更重要的是與感覺刺激相合。但這種相合并非是孤立的，而是整體的。在他看來，直接面臨經(jīng)驗檢驗的是所謂的觀察范疇，而蘊含觀察范疇的是一個理論的整體，其中，算術和其他數(shù)學的分支是理論背景的一部分。在《真之追求》第6節(jié)中，蒯因試圖通過在整體論所要求的最低限度肢解整體的準則之下，保護任何純數(shù)學的真，但這種保護不是因為數(shù)學的基礎性，而是因為數(shù)學滲透到人類關于世界的知識系統(tǒng)的各個分支，對數(shù)學的破壞將令人無法容忍。蒯因認為，這可以解釋數(shù)學必然性，并且基于一個所謂的未闡明的原理：人類在自由地拒斥其它信念的同時卻要捍衛(wèi)數(shù)學。由于整體論，加上數(shù)學對我們關于世界的知識系統(tǒng)的滲透，在數(shù)學得到應用之處，經(jīng)驗內容也被數(shù)學所分享。
蒯因的老師卡爾納普在他的數(shù)學哲學中，使用分析性來解釋缺乏經(jīng)驗內容的數(shù)學如何有意義以及為何數(shù)學是必然真。之所以使用分析性，在蒯因看來，是因為類似于形而上學的必然性反映出事物的本質，分析性反映了語詞的意義。不過，如前所述，蒯因認為通過整體論就可以解決卡爾納普通過分析性所解決的那兩個問題。蒯因對于數(shù)學必然性的說明，并不是給出像弗雷格那樣的基礎主義證明，而更主要是從數(shù)學應用的效果來說明；與其說他想說明數(shù)學的基礎性的必然性，倒不如說他想通過整體論來說明數(shù)學如何跟經(jīng)驗關聯(lián)。
在《真之追求》第40節(jié)，蒯因專門討論“數(shù)學中的真”。在他看來，數(shù)學有一部分因為不應用于自然科學而不享有經(jīng)驗意義，集合論的高級部分也是這樣，而它們的意義在于它們是與應用數(shù)學一樣用相同的語法和詞匯來進行表述的。或許因為這種數(shù)學的高級部分的非應用性，蒯因認為要是將之排除在二值邏輯之外，就需要不自然地劃分語法。因而，由于簡單、經(jīng)濟和自然的考慮，這些高級部分或者是不必要的想象，或者可以在謂詞邏輯和集合論這類基礎上給出來；并且這樣處理缺乏經(jīng)驗內容的純數(shù)學，跟自然科學內部進步的簡化和經(jīng)濟達到一致，“它是關乎使我們關于世界的整體系統(tǒng)緊湊（tightening）和簡化（streamlining）的問題”。
從以上對蒯因在《真之追求》中的觀點的述評可見，蒯因自然主義的心理主義把人看作自然的一部分，而人們使用的數(shù)學（包括邏輯、集合論作為其組成部分）只是人們的工具。蒯因不像弗雷格那樣試圖分析出一種外在的數(shù)學的基礎，他只是從數(shù)學的應用來說明數(shù)學的必然性；這種必然性最終與經(jīng)驗相關的應用關聯(lián)起來：數(shù)學作為理論背景的一部分，蘊含觀察范疇，并且當觀察范疇遇到反例時，唯有數(shù)學不能被破壞。在《從刺激到科學》中蒯因用一章的篇幅專門討論了邏輯和數(shù)學，其中的觀點與《真之追求》是一脈相承的，并且可以增進對他關于邏輯和數(shù)學的心理主義觀點的理解。
作為自然一部分的人對于邏輯的習得有一種“進化”的過程：人類從孩提時代習得“并非”、“并且”、“或者”這些邏輯聯(lián)結詞以及“有的”、“每個”這些量詞的時候，就逐步把蒯因界定的狹義的邏輯的基本律內化了；而當人類數(shù)學理論成熟時，就能夠在一種形式化中把這種邏輯壓縮為：證明一個給定的前提集對預期結論的蘊含，就是證明該前提集與結論的否定的不一致。這種觀點把數(shù)學當成比邏輯更加高級的知識體系，蒯因接下來的一句話可以更清楚地看出這一點：“我樂意于如此狹義地限制詞項‘邏輯’，而把集合論處理為數(shù)學另一更高級的分支。”他在后面甚至把集合論當成數(shù)學的代名詞，即邏輯是數(shù)學的分支、集合論則是更高級的分支。并且，這種“狹義”的邏輯和集合論及數(shù)學的其它分支，有著三個重要的區(qū)別：一、邏輯沒有能稱為屬于它自己的對象，其變量允許所有離散的值；二、除去同一性，邏輯沒有自己的謂語；三、邏輯允許有完全的證明程序，而數(shù)學其它分支則由于哥德爾不完全性定理而不允許有完全的證明程序。
從以上對比可見，就沒有對象與謂語而言，邏輯如前面所引述的《真之追求》的觀點所表明的那樣，更主要的是具有一種聯(lián)系的功能；就證明的完全性來說，邏輯看來比之數(shù)學的其它分支更有優(yōu)勢。如前所述，在蘊含觀察范疇方面，蒯因把數(shù)學律與自然律的作用等同起來，因為集合論和數(shù)學其余部分的規(guī)律排列在進行蘊含的前提之中，等同于自然科學的規(guī)律和假說。不過，這并不與公認的數(shù)學缺乏經(jīng)驗內容的看法相沖突，蒯因認為數(shù)學的這種參與并不賦予經(jīng)驗內容，因為經(jīng)驗內容是屬于進行蘊含的集合并且不被其成員所分享的。
在《真之追求》里能夠享有經(jīng)驗內容的是應用中的數(shù)學，而這里作為進行蘊含的集合一部分的數(shù)學，是所謂的非詮釋數(shù)學（uninterpreted mathematics），它們不僅缺乏經(jīng)驗內容，且缺乏真假。蒯因在比擬這一類數(shù)學真理為經(jīng)驗真理時，主要出于其對觀察范疇的蘊含有幫助的考量，而將其對經(jīng)驗的背離忽略不計。蒯因認為許多這樣的語句可以用應用數(shù)學中所堅持的規(guī)律來處理，另外一些解證地獨立于先前理論的情形則還是用經(jīng)濟原則來處理。加上哥德爾的不完全性定理，令蒯因為難的還有：有許多屬于數(shù)學的閉合句在一致的證明程序中，不可證明也不可證偽。最后，蒯因只能與這種超出他認為的值得并且能夠檢驗的才是真陳述的要求的句子做出妥協(xié)。但是，他還是強調，即使這涉及到康德的物自體問題，關鍵卻還在于人類的用法，而并非宇宙之秘。
與密爾等心理主義的前輩相比，蒯因并不否認數(shù)學尤其是純數(shù)學對于經(jīng)驗的背離；而對于邏輯，他則更主要從一種工具的角度來對待。在寫作《經(jīng)驗論的兩個教條》時，蒯因認為人類的知識最終都與經(jīng)驗相關；而到了《從刺激到科學》，他卻承認非詮釋的數(shù)學對于經(jīng)驗的背離。即使借用應用數(shù)學的規(guī)律處理部分這樣的數(shù)學陳述的真假問題，同時用奧康的剃刀處理另外一些數(shù)學命題，還是存在著真假不定的數(shù)學命題，蒯因提到非詮釋數(shù)學即抽象代數(shù)時說它們沒有經(jīng)驗內容、也沒有真假。而這與前面提到的他所貫徹的經(jīng)驗論的規(guī)范是沖突的。
蒯因的這種困境在弗雷格看來或許并不成為困境。弗雷格其實并不否認經(jīng)驗的作用，他承認感覺印象是認知數(shù)和其他一些東西的條件，但他強調在數(shù)學基礎方面中經(jīng)驗是無關的。在《概念文字》的序言中，他把科學真理分成兩類：一類是其證明純粹由邏輯完成，另一類是必須被經(jīng)驗支撐的。不過，即使是第一類，也是與這樣的事實相一致的：“沒有任何感覺活動的話它是絕不會在人心中稱為意識”；只是它并非源起于心理學，而是基于分類之上的最好的證明方法。感覺活動是意識形成的必要條件，包括其證明純粹由邏輯完成的科學真理也是如此，不過感覺活動卻并非基礎。泰勒·伯奇（Tyler Burge）考究了奠基（grounding）一詞的德語，認為基礎和奠基是與理性相關的。哲學家所談論的理性，一般意指源自亞里士多德的范疇理性，即弗雷格在《算術基礎》第31節(jié)提到的，使我們與動物區(qū)別開來的更高精神力量。 作為算術基礎的命題恰好是不需要檢驗的、自明的，其作為真命題的意義因此不在于蒯因所要求的值得檢驗和能被檢驗，而在于它們所含有的內容是理性所必須確認的。
與《算術基礎》開篇建立的那三個原則相適應，弗雷格把科學真理分成兩類，其中，客觀性的算術真理純粹由邏輯得到證明。算術領域的真在弗雷格那里如同赤道與北海的存在一樣，具有超乎經(jīng)驗的客觀性。算術真理在弗雷格那里具備的獨立于經(jīng)驗的地位，恰好就標出了蒯因極不情愿地作出妥協(xié)后逐步接近的那種立場。另一方面，即使蒯因的經(jīng)驗論看起來似乎更符合人類的實際（人們通過微弱的紐帶與包括數(shù)學對象這一類抽象對象的外在世界相連，更多的時候，人們談論知識就是在談論人們經(jīng)驗中的知識，在此意義上，人類提出建議，世界付諸實踐），但是他卻無法將經(jīng)驗主義的規(guī)范貫徹到非詮釋數(shù)學的領域。
最后回到本文開頭轉述的蒯因對于弗雷格理想的否定。自明的邏輯真理作為算術基礎的探尋在蒯因看來之所以是失敗的，與蒯因對分析性概念的態(tài)度密切相關。如前所述，弗雷格基礎主義探究的哲學動機是進一步澄清分析與綜合之分，把通過證明由非事實的普遍邏輯真理或定義得到辯護的數(shù)學真視為分析性的，并且在《算術基礎》結尾部分還認為他在這一點上推進了康德的研究。 蒯因在《經(jīng)驗論的兩個教條》中雖然直接針對的是卡爾納普的分析與綜合之分，但就以奠基于非事實與事實來區(qū)分分析與綜合而言，他的這種批判也可以針對弗雷格的分析與綜合之分。蒯因否定奠基于非事實的分析的真的存在，最終目的是得出他的整體論的經(jīng)驗主義。克里斯托弗·皮卡克（Christopher Peacocke）指出，蒯因拒斥分析性與他的整體論、可錯論相關聯(lián)，而他的整體論是刺激意義（stimuli?meaning）的整體論。如前所引的《真之追求》中的觀點所顯示的，在蒯因那里，可以說感官刺激才是所有知識的基礎。皮卡克指出，刺激意義并不必然具有一般的意義同一性。比如，對一個嚴重散光的人來說，“那條線是直的”的刺激意義將與他視力更好的朋友不同，但是這個句子在兩種情況下都有同樣的意義。
（1．大連海事大學智能科學與技術系，遼寧大連116000：
2．國網(wǎng)遼寧省電力有限公司大連供電公司，遼寧大連116000）
摘要：結合fMRI數(shù)據(jù)處理方法，介紹相關的數(shù)學基礎，闡述如何完成認知實驗及數(shù)據(jù)處理，實現(xiàn)理論與實踐相結合的教學方法。
關鍵詞 ：腦與認知科學；功能磁共振；數(shù)據(jù)分析方法；基礎數(shù)學
基金項目：國家自然科學基金項目( 61472()58, 61173035)；新世紀優(yōu)秀人才計劃（NCET-11-0861）。
第一作者簡介：劉洪波，男，教授，研究方向為認知計算及大數(shù)據(jù)，thb@dlmu．edu．cn。
1 背景
腦與認知科學課程是智能科學與技術專業(yè)的主干課，涉及心理學、神經(jīng)科學、計算機科學與技術等，學習這門課程不僅能啟發(fā)智能系統(tǒng)設計模式，更有利于腦機接口、生物醫(yī)學等方面的應用。在這門課程的教學過程中，容易忽略其中的數(shù)學基礎。特別的，隨著fMRI、EEG等無損影像技術的發(fā)展，如何利用其中的影像數(shù)據(jù)提取其中的豐富信息已成為人們關注的焦點，而其中的數(shù)學基礎起到重要的作用。
fMRI成像是20世紀90年代初出現(xiàn)的研究工具，其原理是基于血氧水平依賴(blood oxygenation level dependent，BOLD)信號。由于大腦在活動期間，血流變化很小，在1.5T的磁場強度下，灰質發(fā)生的血液動力學信號變化通常為2%～5%，而且還受呼吸、心跳等生理活動的影響。因此，fMRI數(shù)據(jù)集是受到系統(tǒng)噪聲影響的時間序列數(shù)據(jù)集。由于是觀測型數(shù)據(jù)，這就需要借助合理數(shù)學的方式來進行處理，所以在腦與認知科學的課程中需要強化這方面的基礎。
2 數(shù)學基礎
2.1 相關分析
相關分析法是一種簡單的用于分析腦功能連接的方法。它是通過計算基于感興趣區(qū)(ROI)間的Pearson相關系數(shù)得到以ROI為節(jié)點的邊的強度。當相關系數(shù)達到某一閾值時，就認為這兩個腦區(qū)之間存在功能連接。
2.2 廣義線性模型
Friston提出的統(tǒng)計學參數(shù)映射方法(statistical parametric mapping，SPM)6-8]是一種有效提取腦激活區(qū)且具有魯棒性的方法。該方法本質上是利用廣義線性模型( general linear model，GLM)克服系統(tǒng)誤差。GLM的模型假設如式(2)所示。
式中：Y表示待分析的fMRI信號；X表示設計好的參考矩陣；β表示待估計的參數(shù)；ε表示誤差。
β的估計根據(jù)度量準則的不同而不同。特別的，當度量準則為歐式距離時，β的無偏估計量可由式(3)完成對β的估計后，就可以利用t檢驗對得到的線性模型進行逐像素的分析，并以此給出大腦激活圖像。
2.3 獨立成分分析
獨立成分分析( independent component anal-ysis，ICA)是一種無監(jiān)督的學習方法。該方法首先由McKeown[9-10]應用于fMRI數(shù)據(jù)集中。ICA假設為觀測信號是由源信號經(jīng)過未知的線性規(guī)則疊加而成。考慮一個M維觀測向量X= (x1，X2，…，XM)T，則ICA的模型假設可由式(4)表示。
X=AS (4)
式中：S=(s1，s2…，，SN)T表示N維源向量；A表示未知的線性混合矩陣，通常來說M≥N，且A為滿秩。
獨立成分的目的就是估計一個解混矩陣WN×M，使得由式(5)得到的Y接近真實源信號S。易見式(5)等價于式(4)。
Y= WX (5)
因此ICA又可以被歸為優(yōu)化問題，目前主要求解方法分為不動點（fix-point）算法和自適應。
ICA的自適應算法也稱作基于梯度的自適應算法，可以通過優(yōu)化判據(jù)對待估參數(shù)進行逐步優(yōu)化，最終得到穩(wěn)定的輸出結果。其中一種優(yōu)化判據(jù)是基于Infomax準則的優(yōu)化判據(jù)，它可以寫為
式中：gi(yi)表示一個合適的非線性函數(shù)；ri＝gi（Yi）；H(x)是輸入信號的熵，它與W的選擇無關與Informax等梯度算法相比，固定點算法對待獨立成分的處理方式則不同。固定點算法一般分為兩步：第一步先把每個觀測分量Xk白化為Zk；第二步則尋求Zk的最優(yōu)投影方向。
固定點算法首先由式(4)和式(5)可知，y= WAS=VS。若假定S=（S1，S2，…，SN）T的各分量同分布且為非高斯的，則根據(jù)中心極限定理可知，yj比每個si更加接近高斯分布。當且僅當yi=Sk，k={1，2，…，N}時，Yi的非高斯性最大。而衡量非高斯性的理想度量即負熵，負熵的定義如式(7)所示，由Edgeworth級數(shù)展開，得到由高階統(tǒng)計量近似表示的形式(8)。其中Z的每個分量由X零均值切方差歸一，即經(jīng)過白化后的矩陣Z=（Z1，Z2…，ZN）T。k4為高階統(tǒng)計量，
3 教學實踐
上述介紹幾種比較常用的基于fMRI的數(shù)據(jù)分析方法，這些方法不僅可以用于構建大腦功能網(wǎng)絡，也可以用于考察腦激活與外界刺激的聯(lián)系。其中，相關分析作為一種樸素的統(tǒng)計方法，由于fMRI自身信噪比不佳，若直接應用于fMRI信號分析，效果相對一般。但是一些配合小波分析等其他特征提取方法，依然可以取得相對理想的效果。目前主要用于靜息態(tài)數(shù)據(jù)的分析，應用工具包包括rest、dparsf等。廣義線性模型的應用則比較廣泛，并且SPM自身的功能也比較完善，可以作為多種分析策略的特征提取手段。獨立成分分析則是一種較新的分析方法，與前兩個模型一樣也有相應的軟件實現(xiàn)，如GIFT、MICA等。其實驗結果的生理學含義有待于進一步驗證。
3.1 基于E-prime的腦與認知科學實驗設計
E-Prime軟件是由美國PST( PsychologySoftware Tools，Inc．)公司開發(fā)的一套針對心理與行為科學研究的實驗設計、生成和運行軟件，以其易學易用、計時精度高等特點在國內外心理學界得到了廣泛應用，已經(jīng)成為全球通用的標準化認知心理實驗生成系統(tǒng)。在學生學習了腦與認知科學相關理論并具備基礎的數(shù)據(jù)庫相關知識之后向學生傳授如何利用E-Prime軟件編制腦與認知科學實驗程序，具有很強的實踐性。本實驗以上機編程操作為主，首先練習利用E-Prime軟件在GUI界面下開發(fā)一個腦與認知科學實驗程序，然后練習如何利用E-Basic語言編寫腳本實驗程序以實現(xiàn)GUI環(huán)境下難以實現(xiàn)的部分實驗功能，最后采用E-Prime軟件行為數(shù)據(jù)分析模塊練習行為數(shù)據(jù)的統(tǒng)計與分析。經(jīng)過本實驗的訓練后，學生熟練地掌握了腦與認知科學實驗設計的方法，更深入地領會腦與認知科學研究方法的底層邏輯。
實驗目的在于訓練學生利用E-Prime軟件開發(fā)腦與科學實驗程序，以提高其從事腦科學與認知科學領域研究的能力。實驗教學中鼓勵學生自主設計實驗程序，以達到提高實驗程序開發(fā)技巧、培養(yǎng)動手能力及科研能力的目的。此外，還要注意不斷深化和擴展教學內容，注意向學生介紹近年來出現(xiàn)的新的實驗范式及如何利用E-Prime編程實現(xiàn)，以加強本實驗課對于學生以后從事腦科學與認知科學研究的實用性。
3.2 基于SPM的腦功能成像數(shù)據(jù)分析實驗
SPM是由英國神經(jīng)科學領域、統(tǒng)計領域、圖像處理領域的科學家Friston等人在通用數(shù)學軟件包Matlab上開發(fā)的軟件系統(tǒng)，具有非常強大的統(tǒng)計功能。SPM指的是統(tǒng)計參數(shù)圖像，也就是這個軟件的最終輸出。它對所有成像數(shù)據(jù)的每一個體素點都分別計算，得出包含有每個體素點參數(shù)值的圖像，這個參數(shù)圖像是許多單次掃描圖像所包含信息的精簡和壓縮。目前SPM通用的版本為SPM8，以前的版本主要有SPM94、SPM96、PM99、SPM2和SPM5，它們在進行腦功能圖像初步分析方面基本是一致的。SPM對腦功能成像數(shù)據(jù)的處理包括預處理、建模和統(tǒng)計推論三個步驟。
實驗分為兩步，首先讓學生參加fMRI實驗，每人完成一個簡短的腦與認知實驗程序并采集個人的功能成像數(shù)據(jù)，然后上機基于SPM系統(tǒng)分析自己的腦成像數(shù)據(jù)，最終獲取個人在進行認知任務時大腦的激活示意圖。經(jīng)過本實驗的訓練后，學生掌握了腦功能成像數(shù)據(jù)分析處理的思路和方法，在成功獲得了自己進行認知任務時大腦的活動模式后極大激發(fā)了他們對于腦科學與認知科學研究的興趣。在教學過程中注意介紹基于腦功能成像技術的腦與認知科學研究的最新成果，以及腦功能成像技術的最新進展，實驗中詳細介紹SPM處理數(shù)據(jù)每一步的目的和原理，加強學生對于腦功能成像技術和功能數(shù)據(jù)分析處理的理解，從而提高其從事腦功能成像領域研究的能力。
3.3 基于Matlab的腦功能連通模式構建實驗
Matlab是由美國Mathworks公司的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環(huán)境，它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設計語言（如C、Fortran）的編輯模式，在醫(yī)學圖像分析處理領域得到了廣泛應用。實際上SPM系統(tǒng)就是基于Matlab平臺的程序包，本實驗不依賴SPM系統(tǒng)，基于預處理完成后的腦功能成像數(shù)據(jù)和Matlab編程平臺，采用相關分析方法分析大腦激活區(qū)活動的關聯(lián)模式。
當前的腦功能成像研究已經(jīng)不像以前那樣著重于腦區(qū)功能定位，即單純確定哪些腦區(qū)參與了研究任務，現(xiàn)在大都從整體和動態(tài)角度研究任務過程中參與的腦區(qū)以及腦區(qū)間的反應模式和時空關系，并建立腦內信息加工的相關網(wǎng)絡與模型。基于相關分析的功能連接分析是近期興起的一種腦功能成像分析技術，即分析腦區(qū)間的相互作用和協(xié)同競爭的關系，在獲得感興趣區(qū)和腦激活圖的基礎上，進行了功能連接分析。實驗首先對成像數(shù)據(jù)進行預處理，目的是盡可能地消除個體差異，并把所有被試的數(shù)據(jù)統(tǒng)一到一個標準下測量，預處理過程和SPM處理是一致的；其次基于SPM處理結果，確定大腦感興趣區(qū)中t值最強點以及它所在的簇，所謂的簇是指以t值最強點為中心的27個體素；第三，根據(jù)體素點坐標位置提取信號值，即提取t值最強點所在的簇27個體素信號的平均值；第四，采用相關分析方法，感興趣區(qū)信號值之間兩兩求相關系數(shù)，即得感興趣區(qū)之間的有效性連接程度。
本實驗對于Matlab編程基礎要求較高，因此實驗分段進行，先練習基礎變量的設置和計算，然后練習幾個主要函數(shù)（如fopen、fseek、fread和corrcoef等）的分析處理功能，最后整合成完整的程序。數(shù)據(jù)分析完成后，鼓勵學生發(fā)揮想象力，構畫腦功能連通模式圖。通過本實驗，學生掌握了Matlab處理腦功能成像數(shù)據(jù)的基本原理和方法，進一步加強了其在腦功能成像領域進行研究的能力。
4 結語
腦與認知科學課程中的數(shù)學基礎強化與實踐，在智能科學與技術專業(yè)課程體系中具有重要作用，學生需要這些知識作為專業(yè)基礎，掌握其基本知識、基本理論、基本方法及基本技能，還需要注重思維能力的培養(yǎng)。但是對于以計算機科學為基礎的智能科學與技術專業(yè)本科生來說，腦與認知科學有專業(yè)跨度，比較難掌握。發(fā)揮理工科的數(shù)學與計算優(yōu)勢，結合實驗及數(shù)據(jù)處理、獲取第一手的具體實踐的教學方式方法值得我們去研究和探索。我們在數(shù)學基礎、課程教學與實踐及專業(yè)特色的基礎上，闡述強化理論基礎、實驗創(chuàng)新教學實踐相結合的觀點；根據(jù)大連海事大學智能科學與技術專業(yè)2012級和2013級的教學實際，探索新的教學方法，不斷提高教師自身的素質和專業(yè)能力，注重學生理論學習和實踐能力的培養(yǎng)，為國家和社會培養(yǎng)出更多基礎扎實的創(chuàng)新性人才。
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制作教具的作用
學習正弦函數(shù)的圖像時，首先根據(jù)正弦函數(shù)的解析式，
列表將單位圓十二等分，以為橫坐標，再以這些角對應的正弦值為縱坐標列表，而實際上以正弦線來表示改角的正弦值更為精確。但事實上是，如何將自變量弧度和它對應的正弦值M1P1表示在橫坐標和縱坐標上？最精確的做法就是做一個單位圓模型，用厚一點的紙箱皮做，在單位圓的外側粘雙面膠，同時用一些有鋁絲的塑料彩紙條（容易固定）固定在如圖所示的M1P1，M2P2等的位置，下面以（0，0）為起始點開始轉單位圓的圓盤，此時點M與坐標系的坐標原點重合，當圓盤上的雙面膠粘在x軸上，到M1的位置時，此時，彩紙條M1P1正好垂直于x軸，此時確立第一個點P1點，其橫坐標為圓弧MM1的長，縱坐標為彩紙條M1P1的長，這樣做，保留了在確立角和對應的正弦值的最真實（相對）的數(shù)據(jù)。依次確立其他各點，注意，在確立其他各點的過程中，當角大于π時，將雙面膠上的塑料彩紙條粘在單位圓的外側邊上，并放在圓盤背面，這樣展開的時候這些彩紙條會落在坐標系中x軸的下方。展開之后，依次描點連線，則正弦函數(shù)在一個周期內的圖像就呈現(xiàn)出來了。
引導學生繼續(xù)思考，如果角大于2π或角小于0，此時的圖像是什么情況，學生自然想到只需繼續(xù)轉動圓盤，圖像就呈現(xiàn)出來，緊接著，就可總結出正弦函數(shù)圖像的周期性，通過圓盤演示，學生觀察到了正弦函數(shù)最大的特征――周期性。
筆者在教學過程中，使用該教具教學，形象直觀，易于理解。對比其他的畫圖法，如獨立的確定橫縱坐標：先將橫坐標0：2π分12等分，確立橫坐標，然后在單位圓中平行移動M1P1與對應，M1P1即為橫坐標為時對應的縱坐標，依次再確立其他各個點。這種方法不管是老師在黑板上手工操作還是用電腦幾何畫板演示，筆者認為都沒有用教具來的直觀、清晰、明了。
在學習圓錐曲線時，橢圓和雙曲線軌跡的形成過程中，使用教具講解，形象直觀。在一根繩子的兩端分別系一個吸頂器（小），操作中，將兩個吸頂器分別固定在黑板上，然后用粉筆將繩子拉直在黑板上畫線，觀察曲線的形狀（交給學生操作）。再調整兩吸頂器之間的距離再畫曲線，觀察兩吸頂器之間的距離和所畫出的橢圓的形狀之間的關系。并將兩吸頂器之間的距離達到最大觀察此時能不能畫出圖像，再將兩吸頂器重合，觀察畫出來的圖像。操作完之后，動點的軌跡（粉筆運行的軌跡）即橢圓的定義清晰明了，同學們就能快速總結出來。且通過實踐操作什么時候形成橢圓、圓、線段，圖像不存在，也能直觀的看到。課下還可以把教具留給課堂沒有機會畫的同學體會。同樣，在學習雙曲線的定義時，也是使用類似的教具，教學效果好，學生理解透徹。當然這需要教具做到位，演示具體清晰。反之，若教具做的不精致，操作不到位，草草演示完了，學生仍然云里霧里，不知所云，更不要談學習的效率了。所以，教學效果要好，教具制作一定要到位。
自己動手做教具
在學習立體幾何時，很多同學因為缺乏空間想象能力而無法將該部分內容學好，“缺乏空間想象”這是天生的，無法改變，但學生們可以通過后天的努力積極改變――制作立體幾何教具，觀察教具，復雜的點、線、面的關系一目了然，抽象的想象變得清晰可見。在一開始接觸立體幾何，講空間幾何體時，便要求學生自己制作教具，如柱體、椎體等;在學生制作的過程中，這些幾何體的模型深深映在學生的腦海中;在以后的學習中遇到該幾何體時，這些模型很快就浮現(xiàn)在腦海中，幫助學生解題。除了學生自己制作教具，學生還需要隨時觀察生活中的幾何模型。
知識點的遷移
一、數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何的課程特點
數(shù)學分析的基本方法是極限的方法，即通過局部微小的變化來研究整體的性質。這種分析方法的分析?^程和理論都是比較抽象的，因此學生理解和掌握相關知識點的難比較大。數(shù)學分析的主要內容包含實數(shù)集合、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)連續(xù)、函數(shù)的微分與導數(shù)、不定積分、定積分、級數(shù)理論和傅里葉級數(shù)等。不管是一元函數(shù)還是多元函數(shù)，極限的方法都起到了關鍵的作用。解析幾何比較直觀，用代數(shù)的方法來研究幾何，將抽象的幾何結構代數(shù)化與數(shù)量化，構建出新的運算方法。解析幾何的基礎是利用向量與坐標為工具，去探討空間直線與平面、建立特殊的曲面方程、構建二次曲線的一般理論。解析幾何的主要內容包含向量的性質與坐標、平面與空間曲線的方程、曲面方程、平面與空間直線以及點的位置關系、特殊的二次曲面和二次曲線的一般理論。高等代數(shù)的特點是邏輯鮮明，層次結構清晰，深刻的等價分類。高等代數(shù)的主要內容包含多項式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、線性變換、矩陣、歐幾里得空間、雙線性空間與辛空間等。這三門課程各有各的特點，但很多知識點相互關聯(lián)和滲透。掌握好這三門課程相應的知識與內容是建立較為嚴密的數(shù)學思維的必要過程。數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何這三門課程的掌握程度，決定了學生學習后續(xù)課程的學習效果和掌握程度。因此，這三門基礎課程對數(shù)學專業(yè)的學生而言非常重要。很多學校也會把這三門課程作為研究生入學考試的專業(yè)課的主體。為此，這三門基礎課程的教學效果對數(shù)學專業(yè)的學生和教師都非常重要。
二、數(shù)學專業(yè)學生的現(xiàn)狀
1.國家自1999年實行普通高等學校擴招政策后，一方面各高校均面臨著學生規(guī)模迅速擴大，學生素質參差不齊，生源總體差異顯著加大，很多教師覺得學生一年比一年難教；另一方面，很多學生仍沿用高中階段的學習方法和習慣，習慣于在教師的監(jiān)督下學習，學習的自主性還不夠強。而大學每次數(shù)學課的教學內容和信息量都是非常大的，教師授課的速度要遠大于高中的授課速度，導致很多學生不能適應大學的這種教學模式。同時，有些學生也會對于上課時沒理解透徹的地方，課后也不去及時復習鞏固，導致“前學后忘”。以上這些因素的存在在很大程度上導致一些學生聽課困難，課后作業(yè)靠參考習題解答或者其他同學的答案。在這種局面的影響下，大部分學生只希望考試通過就好，而忽略了這門課程本身的意義和對今后自身的發(fā)展與影響。
2.很多數(shù)學生上了大學后，沒有了“高考”的目標，感覺很迷茫，對自己的大學生涯沒有一個清晰的規(guī)劃。不知道自己現(xiàn)在要干什么，將來要做什么。很少有學生去了解自己的專業(yè)培養(yǎng)方案和了解自己的專業(yè)結構。這樣情形的存在，使得大多數(shù)學生覺得上課的目的就是為了考試，而不是為了培養(yǎng)自己的專業(yè)能力與素養(yǎng)，更不要說對自己的大學生涯做出合理的規(guī)劃。
3.目前高校數(shù)學教育專業(yè)課程設置與數(shù)學教師專業(yè)化要求嚴重不符，主要表現(xiàn)在：數(shù)學課程設置模式變化缺乏科學的指導思想；高等數(shù)學知識與中小學數(shù)學教學需要嚴重脫節(jié)；課程設置缺乏實效性。為此，我們應改革當前培養(yǎng)模式；按照客觀性準則，完善當前課程結構，建立全新的課程體系；高師課程數(shù)學知識應由“學術形態(tài)”轉變?yōu)椤敖逃螒B(tài)”。高校數(shù)學教育專業(yè)在培養(yǎng)目標、課程體系、課程內容等方面進行了一系列改革，但改革的深度和速度仍滯后于基礎教育改革和發(fā)展的需求，具體表現(xiàn)為：培養(yǎng)目標和課程體系仍以數(shù)學學科的建設為主體，過分追求本專業(yè)課程的縱向發(fā)展而忽視了學科之間的橫向聯(lián)系與學科之間的融合，孤立片面地去對待單一的學科；重視專業(yè)知識教育忽視教育理論、技能及人文素質教育，而不是用辯證的思維來對待課程的設置；課程內容方面，數(shù)學類課程的設置與中學教學需求脫節(jié)，忽略了中學教學的實際情況；20世紀以來有關數(shù)學研究的新成果又未被引入進課程，與社會發(fā)展、科技進步和基礎教育需要出現(xiàn)了嚴重的脫節(jié)，課程結構方面不盡合理。首先，通識類課程設置舊而少，培養(yǎng)出來的學生文化涵養(yǎng)不高。其次，數(shù)學專業(yè)課程設置多而泛，過于注重理論知識和解題技能的傳授，忽視了學生學習能力、研究能力和實踐能力的培養(yǎng)；最后，教育類課程設置不足，且教育實踐環(huán)節(jié)短缺，卓越化培養(yǎng)程度不夠。
三、改革措施――優(yōu)化教師的知識結構和提高學生的學習興趣
在實際的教學過程中，各個高校必須進一步優(yōu)化教師的知識結構和提高其課堂教學質量。教師在講授數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何這三門課程的過程中，很難將三門課程當成一個有機的整體來對待。這些導致數(shù)學課程中很多內容不斷以不同的形式出現(xiàn)或者重復，例如：直線將平面分成兩部分，解析幾何中可以用離差的來表述，數(shù)學分析中可以用夾角的余弦來表示；解析幾何中的曲面可以和數(shù)學分析中隱函數(shù)對應起來；數(shù)學分析中隱函數(shù)組的偏導數(shù)可以和高等代數(shù)的克萊姆法則結合起來。這些例子告訴教師不能片面孤立地去對待這些基礎課程，而是要當成一個有機的整體去講述這些課程。這就要求教師的知識結構進行一定的優(yōu)化和強化。此外，由于各個高校數(shù)學教材使用的年限比較久，沒有針對時代的發(fā)展而進行教材的改革，使得數(shù)學的教學內容枯燥乏味，例子與現(xiàn)實實際差距也比較大，很難做到不同學科內容之間的相互融合與關聯(lián)。因此，選取合適的教材，在數(shù)學教學中也比較關鍵。
提高學生的學習興趣，不但要求教師將這門基礎課當成一個整體來對待，學生在學習的過程中也要將這三門課程當成一個有機的整體來學習。對于數(shù)學教育專業(yè)的教學，應該采取多學科融合關聯(lián)的教學理念，提高學生的學習興趣、自學能力和專業(yè)技能。同時也要提高教師本身的教學質量和方法教師的教學方法。所謂多學科融合關聯(lián)，首先是多門數(shù)學學科之間的某些知識點是共同的，但是表述方式不一樣，本質內容是一樣的。但是在教師教學和學生學習的過程中會忽略知識或內容之間的融合與關聯(lián)程度，孤立地對待單一學科的內容，這樣使得教學內容更加乏味和枯燥。在大學本科階段，解析幾何、高等代數(shù)、數(shù)學分析和復變函數(shù)等課程有很多內容是相互關聯(lián)的。在實際的教學中，如果能將相關內容合理地串聯(lián)起來，不僅可以豐富教學內容和活躍課堂氣氛，還可以提高學生的學習興趣和加深其對于知識的理解程度，鞏固其所學的知識。
要做到多學科融合關聯(lián)，就要求各高校教師在實際的教學過程中必須注重不同學科里相關概念的理解與把握。這主要是因為概念是思維的細胞。數(shù)學思維是通過抽象的數(shù)學概念來運作的。數(shù)學思維的基本方式是推理、判斷；推理、判斷的結果是一系列的數(shù)學定理、命題、法則和公式。而這些數(shù)學知識所揭示的不外是數(shù)學概念之間的聯(lián)系與關系。因此，某種意義上說來，數(shù)學是把握概念的精神運動。數(shù)學教學理應以概念為本，培養(yǎng)學生的理性思維品質和理性精神。然而，傳統(tǒng)數(shù)學教學有重計算輕概念，只重視算法數(shù)學，忽視思辨數(shù)學的傾向。特別是在教材厚、課時少的情況下，有的教師會對概念教學蜻蜓點水。這樣的教學，很難深入到數(shù)學的思想方法層面中去。因此，必須探究數(shù)學概念的教學，將不同學科對于同一原理或本質表述出來的概念加以充分理解，尋找本質，加深對相關定理和概念的理解。這樣學生在之后的學習和應用過程中，才能做到舉一反三，用辯證的思維去思考問題。
摘 要：素質教育的不斷深入發(fā)展使得人們越來越重視學科素養(yǎng)，傳統(tǒng)的只注重知識傳授的初中數(shù)學教育方式已經(jīng)無法培養(yǎng)出21世紀真正所需的人才。因此，在實際的教學過程中，數(shù)學教師要注意優(yōu)化自己的教法，使所有學生能夠意識到自己的主體地位，開展主動的學習活動，提升自己的數(shù)學素養(yǎng)，為每個學生的未來發(fā)展打下堅實的基礎。
關鍵詞：初中；數(shù)學；學科素養(yǎng)；教學策略
數(shù)學學科素養(yǎng)是指初中生既有豐富的數(shù)學知識，又能在學習活動中掌握科學的學習方式，還能夠對他們所習得的知識了解得更加深刻，學會舉一反三，了解數(shù)學的意義。數(shù)學在人們的生產(chǎn)生活中占據(jù)著重要的地位，隨著信息技術的普及與發(fā)展，數(shù)學在人們生活生產(chǎn)中的地位愈加重要，它對推動社會進步、科技發(fā)展等都有重要意義。除此之外，數(shù)學也是初中生學好物理、化學等學科的基礎。因此，教師必須要改變“老師講，學生聽；老師問，學生答”的被動教學方法，培養(yǎng)初中生的數(shù)學學科素養(yǎng)，使其掌握在生活中運用數(shù)學知識的能力。下面，筆者從培養(yǎng)初中生的探究思維、指導學生掌握科學的學習方式、加深學生的情感認知三個方面，討論教師如何培養(yǎng)初中生的數(shù)學學科素養(yǎng)。
一、培養(yǎng)初中生的探究思維
數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“科學的靈感，決不是坐等可以等來的。如果說，科學上的發(fā)現(xiàn)有什么偶然的機遇的話，那么這種‘偶然的機遇’只能給那些學有素養(yǎng)的人，給那些善于思考的人，給那些具有鍥而不舍的精神的人，而不會給懶漢。”因此，在教學活動中，教師應注意培養(yǎng)學生的探究思維，使其學會主動思考，以數(shù)學家的思維方式來學習數(shù)學。這并不只是為了讓初中生在未來進入數(shù)學研究領域工作，而是為了讓初中生養(yǎng)成勤于思考、勤于動手、愛學好問的好習慣。在《圓的有關性質》一課中，我利用圓規(guī)在黑板上畫了一個圓，并讓學生觀察畫圖過程，總結圓的定義，系統(tǒng)學習圓心、半徑等知識。然后，我問學生：“除了圓上的點到圓心的距離是一致的，還有其他的點與圓心的距離一致嗎？”有的學生想了想，說：“沒有。”然后，我讓他們再親自動手，探究這個問題的結論是否正確。
二、掌握科學的學習方法
數(shù)學學科具有抽象性、思維性，要想學好數(shù)學，單純依賴死記硬背是不行的，學生必須要掌握科學的學習方法，才能夠靈活應對任何數(shù)學問題。由于很多教師的教學意識不夠先進，他們還沒有轉變以中考為指向標的教學意識，從而過于重視初中生的數(shù)學成績，反而忽視了培養(yǎng)初中生的數(shù)學思維，忽視了學習方法的重要性。這就導致很多學生只會做某道數(shù)學題，但凡這個題目往更深層次發(fā)展，或稍加變動，就會讓初中生束手無策。尤其是初三學生直接面臨中考，因此他們的學習時間非常緊張，學習任務很重，導致他們在學習數(shù)學的過程中感到十分壓抑。因此，教師必須要把數(shù)學教學的基點放在如何培養(yǎng)初中生的學科素養(yǎng)上，使其掌握學習數(shù)學的科學方法，在提高他們數(shù)學知識與能力的同時，減輕他們的負擔。在《點和圓、直線和圓的位置關系》一課中，我指導學生親自動手，分小組探究點與圓的幾種位置關系。每個學生都需要在小組內發(fā)言，將他們親自動手測量的結論在小組內進行闡述，然后，小組內部要將所有的結論進行整合，從而總結探究出“圓內的點到圓心的距離小于半徑，圓外的點到圓心的距離大于半徑，圓上的點到圓心的距離等于半徑”這個數(shù)學結論。每個區(qū)域的點到圓心的距離都可被認為是一個集合，這可以使學生初步掌握圓與一個集合之間的關系。然后，我讓學生展開直線和圓的位置關系的自學活動，讓學生如法炮制，學會學習，初步樹立空間意識，掌握數(shù)形結合等相關數(shù)學思想方法。
三、加深學生的情感認知
初中生的思維活動以形象思維為主，數(shù)學學科強調的是抽象思維與邏輯思S，這就為初中生深入理解數(shù)學知識增加了難度。然而，數(shù)學知識來源于生活，是從生活中的具體事例中抽象出來的具有概括性的知識，因此，教師便可以利用生活中的數(shù)學元素，幫助他們順利完成感性認識到理性認知的轉變，加深他們對數(shù)學知識的認知程度。在學“圓”的相關知識的時候，我讓學生指出圓在生活中應用的實際例子。學生指出車輪、自來水管、奧運五環(huán)等。在將這些實際例子的特點總結出來之后，展開探究，便可以幫助他們理解圓的概念、性質等抽象的數(shù)學知識。
總之，素質教育強調的是學生的主動探究、學習態(tài)度、學習品質等多方面的發(fā)展。因此，教師應該把教學重心放在培養(yǎng)初中生的數(shù)學學科素養(yǎng)方面。教師要注意培養(yǎng)初中生的探究意識，使其學會主動思考，提高他們質疑與解決問題的能力；教師要幫助初中生掌握科學的學習方式，使他們能夠做到舉一反三，減輕教師的教學負擔；教師要利用生活中的數(shù)學元素，加深學生的情感認知，使其對數(shù)學在生活中的應用的感觸更深，從而形成良好的數(shù)學品質。
參考文獻：
關鍵詞：獨立學院 高等數(shù)學 數(shù)學建模 數(shù)學實驗
1 獨立學院現(xiàn)狀
近些年來，獨立學院發(fā)展迅速，它以培養(yǎng)社會需求的服務型、復合型應用人才為目標。目前獨立學院的發(fā)展已由學生的數(shù)量問題轉化為學生質量問題。因此，要創(chuàng)辦獨立學院品牌，確保獨立學院健康穩(wěn)定的可持續(xù)發(fā)展，主要體現(xiàn)在教學質量上，而基礎課則首當其沖，數(shù)學課程（高等數(shù)學、微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計）作為大學公共基礎課中最重要主干課程之一，是學生后期學習專業(yè)課的重要基礎課，只有真正提高獨立學院數(shù)學課程的教學質量，才能有力保證其他相關課程教學質量的提高。
目前，獨立學院高等數(shù)學教師的授課仍以傳統(tǒng)的講授為主，理論聯(lián)系實際得不夠。學生動手動腦開展得很少，計算機和多媒體的運用不夠。而且現(xiàn)在很多獨立院校的教材采用的都是母體院校或二本類大學同類教材，不適用于該校學生，數(shù)學的作用與應用介紹說明得不多，例子較少。數(shù)學素質教育滲透實施地少，導致學生對數(shù)學的認識有偏差。同時，學生數(shù)學基礎參差不齊，獨立學院學生高考數(shù)學成績相差90分的情況普遍存在。對所有學生實行“一刀切”教學，即統(tǒng)一的課程內容和要求，嚴重制約了學生的興趣，同時也影響了課堂的教學效果。這就使得同步教學的模式已完全不能滿足學生的這些不同需求，制約了學生綜合素質的進一步提高。
2 獨立學院基礎數(shù)學教學模式的創(chuàng)新
為了確保獨立學院的教學質量，滿足不同層次學生的利益，在獨立學院數(shù)學課程學時減少的情況下，必須對數(shù)學課程的教學模式和內容體系進行創(chuàng)新性改革，打破統(tǒng)一的教學模式。
2.1 對高等數(shù)學實行分級教學 為了減輕教師組織的負擔，同時考慮到學生畢業(yè)后的職業(yè)目標的不同，在高等數(shù)學課程教學中實行分級教學，對不同層次的學生采用不同的教學模式，能夠從總體上提高獨立學院大學數(shù)學的教學質量。
2.2 轉變教學思想和教學觀念，調整教學手段 對獨立學院的學生來講并不需要很強的嚴謹性和邏輯性，他們更需要的是創(chuàng)新性和分析解決問題的能力。因此針對獨立學院數(shù)學課程學時減少的情況下，我們在教學中應該轉變教學思想和教學觀念，調整教學手段，以應用為目的，以夠用為尺度，把培養(yǎng)學生應用高等數(shù)學解決實際問題的能力與素質放在首位。注意傳授數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維習慣，提高學生分析問題、解決問題的能力。
2.3 借助軟件開展實驗教學，將數(shù)學建模融入到大學數(shù)學的教學中 獨立學院的學生雖理論基礎較差，但思想活躍、個性鮮明、動手能力較強，對一些實用性課程、專題講座、技能比賽等反映出極大的興趣。因此適當減少理論課時，增加數(shù)學實驗課程，可以提高學生的學習效率和分析解決問題的能力。而數(shù)學建模是數(shù)學聯(lián)系實際問題的橋梁，是數(shù)學知識與應用能力共同提高的最佳結合點。根據(jù)教學的需要，我們建議在高等數(shù)學和線性代數(shù)教學中使用MATLAB軟件，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中使用MATLAB和SPSS軟件。同時，利用數(shù)學模型選修課和每年的全國大學生數(shù)學建模競賽活動加強對學生建立數(shù)學模型并利用計算機分析處理實際問題的能力的培養(yǎng)和訓練。這樣可以使學生真正感覺到數(shù)學的應用價值和趣味性，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性。
2.4 完善教材與課程建設 針對獨立學院特點，編寫適合自己學生特點的教材及相應的教學輔助材料，重點突出數(shù)學思想、數(shù)學方法的形成和應用，淡化理論和解題技巧，多增加些現(xiàn)代數(shù)學知識的介紹及與各專業(yè)學科的聯(lián)系應用。
2.5 加強課外學習平臺的建設 構建多元化學習環(huán)境，滿足學生不同層次的學習需要。如全院性的高等數(shù)學內容講座和每天的輔導答疑值班，為學生隨時提供良好的學習條件和機會。學生可以利用學校的網(wǎng)上教學平臺、高等數(shù)學精品課學習網(wǎng)站以及老師們自建的各種網(wǎng)絡平臺學習不同層次的知識和內容。
3 結束語
總之，為了確保獨立學院的教學質量，滿足不同層次學生的利益，在獨立學院數(shù)學課程學時減少的情況下，必須對數(shù)學課程的教學模式和內容體系進行創(chuàng)新性改革，打破統(tǒng)一的教學模式。采用“人才需求為目標”的新型分級教學模式，通過有效地整合數(shù)學課程的教學內容，改革教學方法，引進現(xiàn)代化的教學手段和技術，學用結合，同時把數(shù)學建模的思想引入數(shù)學課程的教學中，把數(shù)學應用的案例有機的與基礎數(shù)學的教學內容結合起來，使學生能夠實實在在的感受到數(shù)學的用途和數(shù)學在解決科學問題中所發(fā)揮的威力，有效的提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。同時也改變教師的教學觀念，豐富教師的教學手段，培養(yǎng)具備高數(shù)學素質的創(chuàng)新性人才。
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新疆高師數(shù)學教育專業(yè)除繼續(xù)開設傳統(tǒng)的心理學、教育學和數(shù)學教學法課程外，還應增設突出教師職業(yè)技能的課程.比如中學數(shù)學課堂教學基本技能訓練、中學數(shù)學教學策略、說課與評課、教學組織與管理、數(shù)學課件制作、中學數(shù)學新課標解讀、中學數(shù)學研究型課程教學設計、數(shù)學考試與評價等，這些課程體現(xiàn)了師范特色，能提高學生適應中學數(shù)學新課程改革的能力，增強就業(yè)競爭力.調查列舉了二十多種加強實習（實訓）與實踐教學的措施，供調查對象進行多項選擇.有90%以上的師生認為，到中學去觀摩教學、請中學教學專家作報告、聘請中學教學名師或教壇新星進行示范教學、大學期間熟悉中學數(shù)學教材、加強微格訓練等都是提高學生實踐教學能力的主要措施。絕大部分學生和院系領導認為目前的教學雖然重視數(shù)學學科的完整性，但是卻忽視了數(shù)學學科與其他學科之間的交叉滲透及與學習者的有機結合，與知識應用的銜接；教學方法缺乏靈活性，教學手段滯后，缺乏對學生的學習方法指導；忽視了數(shù)學思想方法的滲透以及數(shù)學教育的文化價值和德育功能；課程教學模式?jīng)]有體現(xiàn)出針對少數(shù)民族學生的差異性.
訪談結果與分析
調查采用面談與網(wǎng)絡函詢的方式，征求了6位院系領導的意見和建議.多數(shù)領導認為目前新疆高師數(shù)學專業(yè)課程設置不夠合理，建議增開中學數(shù)學課堂教學基本技能訓練、中學數(shù)學典型案例分析與中學數(shù)學教學設計等課程，以加強對學生師范技能的訓練.同時，要根據(jù)中學數(shù)學新課程改革的要求，修訂新疆各高師院校數(shù)學教育專業(yè)的突出師范性要求的人才培養(yǎng)方案.建議各學校成立由分管教學的院長、院系分管教學的領導、地方教育局局長和民族中學校長及教導主任組成雙語教師教育指導委員會，以完善實習環(huán)節(jié)，改革實習方式，加強實習管理.采用“請進來”與“走出去”、舉辦師范生技能大賽、高校與中學數(shù)學教師合作進行開發(fā)研究等方式，切實提高實踐教學效果.對教育實習的時間安排及形式，他們認為實習支教的形式雖好，但管理不到位；分散實習效果最差，應取消分散實習.十五位民族中學校長及教導主任對數(shù)學教育專業(yè)畢業(yè)生的教學能力總體感到滿意，但也尖銳地指出，今后高師數(shù)學教育專業(yè)的課程設置應更加突出師范性，教學的重點應立足于培養(yǎng)學生的教學技能，讓學生及早熟悉中學數(shù)學新課改教材的教法，以便學生畢業(yè)后能馬上勝任中學數(shù)學教學工作.
關鍵詞：基礎數(shù)學；動態(tài)教學；教學效果
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）39-0059-03
一、基礎數(shù)學教學過程中的問題分析
數(shù)學不僅是各學科基礎，更是人才素質的重要組成部分。數(shù)學類專業(yè)包括：數(shù)學與應用數(shù)學、信息與計算科學，統(tǒng)計學（現(xiàn)在是單獨學科），其中基礎數(shù)學課程主要包括：數(shù)學分析、高等代數(shù)、空間解析幾何、常微分方程、復變函數(shù)、概率論、數(shù)理統(tǒng)計，近世代數(shù)等等；非數(shù)學類專業(yè)的基礎數(shù)學課程主要包括：高等數(shù)學、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計。數(shù)學在人才培養(yǎng)過程中的重要性是不言而喻的，作為基礎數(shù)學課程的教學，如何適應高等教育大眾化，不僅是基礎數(shù)學課程教師要考慮的問題，更是各高校需要認真考慮并加以解決的問題。關于這方面的問題，各高校都有各自的矛盾和解決辦法。總體來說各高校存在的普遍問題是：基礎數(shù)學課程的教師比較緊缺，青年教師偏多，且以大班上課為主。另外，有的老師除了承擔基礎數(shù)學課程的教學任務外，還承擔有專業(yè)課程的教學任務，使得部分教師課頭多，教學任務重等各種因素，導致教學質量有所下降。由于基礎數(shù)學課程是相關學科專業(yè)的重要基礎課程，具有高度的基礎性、抽象性、嚴密性、邏輯推理性等等，又有廣泛的應用性，所以在基礎數(shù)學課程的授課過程中主要以板書授課的形式為主，邊講邊推理。基礎數(shù)學課程的教學內容具有完整性，前后章節(jié)聯(lián)系都比較密切，一環(huán)扣一環(huán)，所以每一次課講得好壞都會影響到后面的教學效果，甚至打亂后面教學計劃的執(zhí)行。這也是我們在教學過程中經(jīng)常遇到的問題。在基礎數(shù)學課程的課堂教學過程中每一次的教學效果如何，部分教師很少考慮，有時根本不去考慮，等到布置作業(yè)后，通過學生做作業(yè)的情況，才會發(fā)現(xiàn)教學效果的情況。如果學生作業(yè)做得比較好，說明這次教學效果比較好；如果做得差，說明這次教學效果不理想，教學效果差，即使是這種情況，少數(shù)教師還認為是學生不好好學，很少反省自己的教學過程存在哪些問題。如果教師的作業(yè)比較多，不能及時地批改出來，通過作業(yè)暴露的問題往往就不能及時地糾正，導致問題的積累越來越多，必然會影響后面的教學。教學過程中暴露的問題還有很多，而暴露的這些問題通常都是在課后才發(fā)現(xiàn)的，有的甚至在課程結束后才發(fā)現(xiàn)教學有問題，由于受課時的限制很難進行補救。如果我們在講課前對教學內容、方法和教學手段的效果進行預測，在教學效果預測的基礎上，根據(jù)教學內容認真?zhèn)湔n，安排好每一個教學環(huán)節(jié)；對教學效果在授課課前進行預測，把事后變?yōu)槭虑邦A測，這就是我們本文要探討的基礎數(shù)學課程的動態(tài)教學模式與課堂效果評價問題。
二、基礎數(shù)學課程動態(tài)教學模式與教學效果預測
由于基礎數(shù)學課程分前后內容聯(lián)系都非常密切，甚至幾次課的內容都是整體的一部分，所以，我們在授課的過程中不能孤立地去看待每一次的教學內容，而要考慮前后內容的銜接。以高等數(shù)學或數(shù)學分析為例，教材一般為上下兩冊，通常為兩個學期或三個學期。高等數(shù)學或數(shù)學分析課程下冊的無窮級數(shù)要用到上冊數(shù)列極限的有關內容；下冊的重積分、曲線與曲面積分、傅立葉級數(shù)等等要用到上冊的定積分等等；導數(shù)的定義實際上就是極限問題；多元函數(shù)的許多性質是一元函數(shù)的推廣，但又要注意其不同于區(qū)別。所以，我們在備課、講課的過程中，不能只考慮這次課要講的內容，還要考慮后面教學內容的連貫性。基礎數(shù)學課程的教學過程可以分為兩部分：教學計劃，教學實施。根據(jù)基礎數(shù)學課程教學內容，教學計劃又分為：教學內容的總體計劃，學期計劃，月計劃，周計劃和每次課的計劃。教學計劃制訂好以后，就要對基礎數(shù)學課程的教學目的和要求進行預測。基礎數(shù)學課程教學預測大致可以分為：教學內容的總體預測、學期預測、月預測、周預測。在預測的基礎上，制訂相應的教學目標，做到有的放矢。有了教學預測和教學目標，才能進行教學實施，教學實施主要包括備課、講課、批改作業(yè)等等各環(huán)節(jié)。顯然，對于基礎數(shù)學課程的教學能否達到預期的教學目標，關鍵的是教學實施。根據(jù)基礎數(shù)學課程的教學內容和教學特點，我們把教學實施分為以下幾個階段：教學效果預測（包括教學方法，教學手段，甚至例題的選擇等等），備課（包括布置作業(yè)），授課，批改作業(yè)，課堂教學效果評價。教學效果預測是教學實施過程的前提，沒有預測，教學過程就沒有目標，也就談不上教學質量；要達到一個什么樣的教學目標、教學效果，必須要做到心中有數(shù)。有了教學效果預測，在備課時，就會考慮到各種教學方法和手段的可行性，避免失誤。這樣，一次課下來后，與預期的目標進行比較，如果達到或超過預期的目標，說明這次的教學是成功的，使用的教學方法、手段是可行的，否則，教學有問題，要及時反省，查找原因，下次課及時調整。教學效果評價不僅是自己教學水平的評價，也是提高教學水平的重要手段，更是對自己教學態(tài)度評價，同時它也是下次教學效果預測的依據(jù)。在教學效果評價的基礎上，對下次的教學內容進行預測，并重復上述過程，這樣我們就有下面教學實施的循環(huán)：
在備課之前，首先要對下次教學內容的教學效果進行預測。我們不僅要考慮下次課要講哪些內容，還要考慮學生理解和掌握這些內容的情況進行分析、預測，以及教學過程中可能會出現(xiàn)的各種情況都要有充分的估計。對不同的教學內容或同一教學內容中的不同知識點，采用不同的教學方法其教學效果往往是不同的，哪一種教學效果比較好，都要進行分析和預測；如何講好每一個知識點，如何講解學生更容易理解、掌握等等，都是備課時需要認真考慮的，真正做到學生是授課過程的主體。教學效果預測要充分考慮學生對老師的愿望，因為老師授課的對象是學生，是教學過程的主導者。在講課之前學生對老師也有一個期望，最低的要求就是希望老師所講的內容清楚、能聽懂，除此之外還有理解等等方面的要求。如果老師的授課能達到學生的要求，學生認為這位老師的授課水平高，否則就是這位老師授課水平低。但教師授課水平的高低目前沒有一個明確的界限，以期末考試的試卷難易程度和學生考試的成績來反映教師的教學水平也是不科學的，因為試卷的難易程度很難定論，是一個模糊的概念，憑感覺。如何鑒定教師授課水平，一直是困擾教學質量、教學效果評價的難題，為此，我們做了一些的探討與實踐，不一定科學。設x是任課教師對教學效果給出一個預測值，y是學生給任課教師期望值，如果x≥y，說明這位老師可以勝任這門課的教學。否則，這位教師不勝任這門課的教學任務，學生對該教師的評價不會太好的。這就是說老師對自己要高標準，在這種情況下才能發(fā)揮教學水平，提高教學效果。一般來說，在授課之前，學生不知道老師的教學效果預測值是多少，學生也不會給老師期望值。如果我們把教學效果的評價定量化，那么，教學效果的評價值可以看成x的函數(shù)f（x），當f（x）≥x時，說明這次的教學方法和教學手段應用得當，達到了預期的教學效果和目的；當f（x）
1.老師在上課前根據(jù)這次課的教學內容進行備課，并寫出本次課的教案，下次上課前再根據(jù)要講的教學內容進行備課，再寫出該次課程的教案，也就是講一次課備一次課的教學內容。這種備課省事，大部分老師都是采取這種方式，有利于上課時對本次課教學內容比較清楚。但不足的是：基礎數(shù)學課程教學內容的部分完整性差；如果有次課上得不好，失誤較大，或者講得過快，或者講得過慢，這樣就不利于調整教學內容、教學方法、教學手段，靈活性差，會影響后面的教學內容、教學效果等等。
2.老師根據(jù)基礎數(shù)學課程教學內容的部分完整性，備一次課，寫幾次課的教案，雖然這種備課方法對課堂教學內容的調整有一定的靈活性，一定程度上彌補了上一次課寫一次教案的不足，但因時間較長，有時會對教學內容記得不太清楚、生疏，影響教學效果。
為了避免上述備課存在的問題，我們提出了動態(tài)的三次備課法：就是每次備課時，備三次課的教學內容，并寫三次課的教案：第一次課的教案詳寫，第二次課的教案可以寫得粗一些，第三次課的教案寫得更粗一些。如果備課時，備兩次課的教學內容，寫兩次課的教案，若第一次上課時有失誤，就要修改第二次課的教學內容，第二次上課時就要彌補第一次造成的失誤，這樣第二次課的教學內容不一定能完成，也就會影響后面的教學進度，導致后面為了趕進度而影響教學效果。如果備課時，寫四次以上課的教案，花在寫教案的時間較多，也沒有必要。教學實踐證明，備課時寫三次課的教案是科學的，因為第一次課有失誤，在下面的兩次課完全可以調整教學內容，不影響后面的教學進度。第一次課上完后，進行教學效果評價，在評價的基礎上，調整第二次教案的教學內容，并寫出詳細的教案，同時修改下次教案，增加一次較粗的教案。如此滾動下去，每次備課都保證有三次詳、粗適當?shù)慕贪浮?/p>
動態(tài)備課法模式：
第一次備課
3.基礎數(shù)學課程課堂教學效果評價。在前面，我們提到了課堂教學效果評價，它是下一次課堂教學效果預測的前提和基礎，是評價課堂教學好壞的主要論據(jù)，也是備課時必須考慮的重要因素。雖然影響課堂教學效果的因素很多，有些是不可預測的，但最重要的因素應該是教師。我們知道，基礎數(shù)學課程的課堂教學以講課為主，概念、推理、舉例等等都是邊寫邊講，在講解的過程中速度不能過快，也不能太慢，如果老師講得好，那么學生喜歡聽，注意力集中，效果肯定好；如果老師講得不好，那么，有的學生會產(chǎn)生厭學等情緒，思想不集中，學生出于課堂紀律的約束，會表現(xiàn)出心不在焉的聽課樣子。從學生的課堂表現(xiàn)，可以感覺不出來自己講得是好還是不好，是判斷課堂教學效果的依據(jù)，但不能就此給自己的教學效果做出正確的評價。如何對自己的教學效果做出正確的評價，評價的依據(jù)是什么，目前還沒有合理的說法和理論依據(jù)。目前大多數(shù)的做法是通過學生的考試成績，學生對老師的打分，以及督導組的老師聽課等等來說明老師的教學水平。這種評價看似有道理，但是不全面的。基礎數(shù)學課程是大面積公共基礎課，考試時統(tǒng)一試卷；影響學生考試成績的因素很多，考題的題量、難易度，生源，專業(yè)的要求和培養(yǎng)目標，學風等等，都是影響考試成績的因素。學生給老師打分也存在許多缺陷和不公正，課堂教學管理嚴的老師得分不一定高，要求不嚴的老師可能得分較高；有的學生對老師的評價無所謂，盡量打高一點。督導老師打分往往是表面印象，如果不是同行專家更是如此。所以，最具有說服力的評價是自己給自己評價。如何給出一個合理的自我評價，一直是教師都想搞明白的事，特別是一次課下來后，這次課上得如何等等，都是值得研究的問題。經(jīng)過多年的教學研究和教學實踐說明，學生上課時的情緒、提問以及學生的作業(yè)，是反映教師課堂教學效果的主要依據(jù)。學生上課時的情緒可以反映教師講課的激情、語言的表達、內容的安排、概念的講解、教學手段的使用、教學方法是否恰當?shù)鹊龋栽谏险n時一定要注意學生的情緒。課堂提問可以及時了解學生對知識掌握的情況，更能反映老師的教學水平。課堂提問一般分為直接提問和間接提問，直接提問就是請同學站起來回答問題，適應于小班上課；間接提問就是老師在上課過程中提出問題，然后看學生對老師提的問題反映表情來判斷學生掌握的情況，這種提問適應于大班上課，最好是直接提問與間接提問并用。作業(yè)不僅可以反映學生平時成績，更能反映教師課堂教學效果的好壞，它是定量反映老師這次課教學效果情況的具體表現(xiàn)。所以布置作業(yè)一定要認真，要求學生都是獨立完成作業(yè)，不要給出參考答案，且作業(yè)布置要注意難易程度、題量適度，一個教師教學水平如何從作業(yè)上基本上可以反映出來。為了更好地分析課堂教學效果，根據(jù)上面的分析可以定量地進行評價自己這次教學效果，即教學效果評價成績=上課時學生的課堂情緒20%+課堂提問10%+作業(yè)70%。上課時學生的課堂情緒成績和提問成績根據(jù)上課時的表現(xiàn)來給出，作業(yè)成績?yōu)榕淖鳂I(yè)的平均成績，也可以隨機地抽取一定比例的作業(yè)平均成績作為作業(yè)成績。由于我們在上課前對教學效果進行了預測，并給出一個預測值。當預測值≤教學效果評價成績，說明這次教學是成功的，達到了預期效果；當預測值>教學效果評價成績，說明這次教學有問題，必須認真查找原因，在下面的教學過程中糾正。這樣我們就給出了課堂教學效果的計算公式：課堂教學效果值=課堂教學效果評價―課堂教學效果預測。當課堂教學效果值≥0，說明這次教學是成功的，達到了預期效果；當課堂教學效果值
總之，要保證教學質量，提高教學水平，關鍵是提高課堂教學效果。作為一名教師首先要加強課堂教學管理，對自己的教學情況要有一個合理的評價，才能不斷提高教學水平和能力。如何加強課堂教學管理，并對教學效果進行預測和評價，我們進行了研究并在教學過程中進行探討，得到了上述的成果，特別是對數(shù)學課程的教學有一定的推廣價值。
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